Talk:鴿巢原理

為什麼必存在正整數滿足「該數除以質數p_1,p_2,p_3.....,p_n，分別餘r_1,r_2,r_3....,.r_n」？

為什麼在$\operatorname {lcm} (p_{1},p_{2},p_{3}\cdots ,p_{n})$以下的正整數中，必存在一數滿足「該數除以質數$p_{1},p_{2},p_{3}\cdots ,p_{n}$，分別餘$r_{1},r_{2},r_{3}\cdots ,r_{n}$，其中$0\leq r_{i}\leq p_{i}-1,i=1,2,3\cdots ,n$」？

例如「整數除以3,5,7，分別餘2,3,1」，雖然未經計算還不知道這個數是什麼，但知道必存在這樣的整數。-游蛇脫殼/克勞棣 2017年4月2日 (日) 06:34 (UTC)

我用的是鴿籠原理。為避免代數太多，看得眼花撩亂(以及我也不明白上下顛倒的A、左右顛倒的E是什麼意思)，就用以上的實例來說明：

整數除以3，餘數可能是0,1,2；整數除以5，餘數可能是0,1,2,3,4；整數除以7，餘數可能是0,1,2,3,4,5,6；所以餘數的組合共有3x5x7=105種。

假設在1到105這105個數中不存在「除以3,5,7，分別餘2,3,1」者，則餘數的組合只剩104種；105隻鴿子關進104個籠子，則至少有一個籠子關了2隻以上的鴿子，即1到105至少有兩個相異數分別除以3,5,7，所得的餘數組合完全相同，但這是不可能的：

設此兩數為x,y，則|x-y|是3的倍數，且|x-y|是5的倍數，且|x-y|是7的倍數，即|x-y|是3,5,7的公倍數，x若不等於y，則兩數相差至少105，超過了1到105的範圍。由反證法，得證。

這意味著1,2,3,4.....,105每個數恰好對應一個餘數組合（不會2個以上，也不會沒有餘數組合），且每個餘數組合恰好對應一個數（不會2個數以上，也不會沒有數）。

@Iamapighhh：及諸位：不知這個方法可以嗎？-游蛇脫殼/克勞棣 2017年4月2日 (日) 06:34 (UTC)

你的证明很正确，也更简洁。我没有想到。我的证明是构造性的，写的太形式化了。$\forall$和$\exists$是两个量词的记号，分别表示全称量化和存在量化，或“对于任意”和“存在”。总之只是个形式啦。如果内容看不明白一定告诉我，我再解释啦。持节云中（留言） 2017年4月2日 (日) 18:00 (UTC)

就是Any 和Exist首字母倒过来写嘛。--Antigng（留言） 2017年4月6日 (四) 05:16 (UTC)

@Antigng：不是All嗎？-游蛇脫殼/克勞棣 2017年4月6日 (四) 10:24 (UTC)

For any === for all === for each. Bluedeck 2017年4月6日 (四) 17:58 (UTC)

证明有循环论证嫌疑

鸽笼原理是关于有限集的一个非常基本的命题，它说的是n元集到n-1元集不存在单射。以下命题看上去trivial但跟抽屉原理难度是相近的：m元集与n元集等势推出m=n （即是说，有限集的势是良定义的）; n元集的真子集一定是有限集，而且其势m小于n。

从皮亚诺公理出发证明鸽笼原理必须通过数学归纳：首先1元集到空集不存在任何映射；然后如果找到了一个n元集A到n-1元集B的单射，假设它把元素a射到元素b, 那么我们得到一个A-a到B-b的单射。由于A-a的势是n-1, B-b的势是n-2, 由归纳假设得矛盾。注意A-a的势是n-1也是要证明的，见https://proofwiki.org/wiki/Cardinality_Less_One

原页面给的假设了势的良定义性，属于循环论证；因为势的良定性可以trivially推出抽屉原理，给这样的证明在逻辑链上没有贡献。67.194.233.86（留言） 2017年6月14日 (三) 07:19 (UTC)

雖然我的數學知識沒有高深到看懂您在寫什麼，不過我不覺得這是循環論證，這只有用到很基本的不等式的相加而已：

有5隻鴿子，全部關在4個籠子，設各個籠子分別關有a₁、a₂、a₃、a₄隻鴿子，且沒有任何一個籠子關了2隻以上的鴿子，則：

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=5$且

$a_{1}\leq 1$

$a_{2}\leq 1$

$a_{3}\leq 1$

$a_{4}\leq 1$

則$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 1+1+1+1$

即$5\leq 4$

矛盾，所以原假設不成立，得證。n+1隻鴿子，n個籠子的情況是一樣的。

不等式的相加的論證過程有用到鴿籠原理嗎？-游蛇脫殼/克勞棣 2017年6月14日 (三) 08:10 (UTC)

「若有n+1個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有一個籠子沒有鴿子。」算不算是鴿籠原理？

在下所見過的鴿籠原理的原始表述大多為「若有n個籠子和n+1隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有一個籠子有至少2隻鴿子。」；但其實若把數目交換，也可以有斷言，即「若有n+1個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有一個籠子沒有鴿子。」，請問這算不算也是鴿籠原理呢？

因為條目中的例子「某男性先後有過4位妻子，合共生有2子3女，則至少有2位子女有同一位母親，且至少1位妻子沒有女兒，至少2位妻子沒有兒子。」的證明，似乎兩種表述都會用到？謝謝回答！

註：擴充的表述分別為「若有n個籠子和kn+1隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有一個籠子有至少k+1隻鴿子。(n為正整數，k為非負整數)」以及「若有n+k個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有k個籠子沒有鴿子。(n,k為非負整數，但n,k不同時為0)」。-游蛇脫殼/克勞棣 2018年12月24日 (一) 10:44 (UTC)

• 「若有n+1個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有一個籠子沒有鴿子。」本身不是鴿籠原理的直接表述，但可以利用鴿籠原理證明。如果要把n+1個籠子對應n隻鴿子內，那麼就一定有一隻鴿子有多於一個籠子（這是傳統鴿籠原理表述的變體）。如果規定在有多個籠子對應一隻鴿子的時候，除一個籠子以外其他籠子都是空的，那麼我們就證明了，至少有一個籠子是空的。鋼琴小子 2018年12月24日 (一) 15:14 (UTC)

我的意思是鴿籠原理是否一定是「鴿子數比籠子數多的時候所下的斷言」？還是「籠子數比鴿子數多的時候所下的斷言」也是鴿籠原理的一種？而不是問「若有n+k個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有k個籠子沒有鴿子。」如何證明。「鴿子數比籠子數多的時候所下的斷言」能證明「某男性先後有過4位妻子，合共生有2子3女，則至少有2位妻子沒有兒子。」嗎？我個人認為是不能的，因為這已經是另一個命題了。「鴿子比籠子多」與「籠子比鴿子多」根本是不同的兩件事啊！一個籠子可以關2隻以上的鴿子，但一隻鴿子可以關在2個以上的籠子裡嗎？（請不要告訴我把鴿子關在小籠子裡，再把小籠子裝在大籠子裡這種腦筋急轉彎式的敘述喔！）

這就好比我問內角72°-72°-36°的三角形是黃金三角形，那麼內角36°-36°-108°的三角形是否也是黃金三角形的一種呢？不論是或不是，這兩種三角形都不是相似形哪！

所以我的問題就是(再說一遍)「籠子數比鴿子數多的時候所下的斷言」是否也是鴿籠原理的一種？謝謝！-游蛇脫殼/克勞棣 2018年12月24日 (一) 17:09 (UTC)

抽屉原理推广后为有A、B两集合，当且仅当B到A存在单射关系时，A到B存在满射关系。笼子少于鸽子是该定理的满射表述，笼子多于鸽子都是该定理的单射表述。上述三者都是抽离原理的不同表示。-Mys_721tx（留言） 2018年12月24日 (一) 18:53 (UTC)

可是它們所得的斷言不同，一個是「至少有一個籠子有至少2隻鴿子。」，一個是「至少有一個籠子沒有鴿子」，請問這樣不同的斷言是合理的嗎？-游蛇脫殼/克勞棣 2018年12月25日 (二) 01:51 (UTC)

满射表述为：有一函数$f:A\to B$。若$f$为满射，则$|A|\geqslant |B|$。该命题的换质换位为：若$|A|<|B|$，则函数$f:A\to B$不是满射。即：若笼子多于鸽子，则存在没有鸽子的笼子。

单射表述为：有一函数$g:B\to A$。若$g$为单射，则$|B|\leqslant |A|$。该命题的换质换位为：若$|B|>|A|$，则函数$g:B\to A$不是单射。即：若鸽子多于笼子，则存在两个处于同一个笼子中的鸽子。

这两个命题互为对偶：如果存在一满射函数$f:A\to B$，则$A$中元素不少于$B$种元素。如果$A$中元素不少于$B$，则存在一单射函数$g:B\to A$。-Mys_721tx（留言） 2018年12月25日 (二) 06:03 (UTC)

@Mys_721tx：君，所以你的意思是不論鴿子、籠子哪個比較多，兩種情況都是鴿籠原理的範疇嗎？順便問一句，「若有n+k個籠子和n隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，則至少有k個籠子沒有鴿子。」這個擴充的表述是正確的嗎？謝謝！-游蛇脫殼/克勞棣 2018年12月25日 (二) 08:26 (UTC)

都属于，n+k没有问题。-Mys_721tx（留言） 2019年1月2日 (三) 02:29 (UTC)