排序算法

在計算機科學與數學中，一個排序算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的算法。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序算法在一些算法（例如搜尋算法與合併算法（英语：Merge algorithm））中是重要的，如此這些算法才能得到正確解答。排序算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序算法是一個簡單的問題，但是從計算機科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在计算机科学所使用的排序算法通常依以下標準分類：

計算的時間複雜度（最差、平均、和最好性能），依據串列（list）的大小( $n$ )。一般而言，好的性能是 $O(n\log n)$ （大O符号），壞的性能是 $O(n^{2})$ 。對於一個排序理想的性能是 $O(n)$ ，但平均而言不可能達到。基於比較的排序算法對大多數輸入而言至少需要 $O(n\log n)$ 。
内存使用量（以及其他電腦資源的使用）
穩定性：穩定排序算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄 $R$ 和 $S$ ，且在原本的串列中 $R$ 出現在 $S$ 之前，在排序過的串列中 $R$ 也將會是在 $S$ 之前。
排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

 $(4,1)(3,1)(3,7)(5,6)$

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

 $(3,1)(3,7)(4,1)(5,6)$  （維持次序）
 $(3,7)(3,1)(4,1)(5,6)$  （次序被改變）

不穩定排序算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序算法從來不會如此。不穩定排序算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序算法列表

在這個表格中， $n$ 是要被排序的紀錄數量以及 $k$ 是不同鍵值的數量。

穩定的排序

冒泡排序（bubble sort）— $O(n^{2})$
插入排序（insertion sort）— $O(n^{2})$
鸡尾酒排序（cocktail sort）— $O(n^{2})$
桶排序（bucket sort）— $O(n)$ ；需要 $O(k)$ 額外空間
计数排序（counting sort）— $O(n+k)$ ；需要 $O(n+k)$ 額外空間
归并排序（merge sort）— $O(n\log n)$ ；需要 $O(n)$ 額外空間
原地归并排序— $O(n\log ^{2}n)$ 如果使用最佳的現在版本
二叉排序树排序（binary tree sort）— $O(n\log n)$ 期望时间； $O(n^{2})$ 最坏时间；需要 $O(n)$ 額外空間
鸽巢排序（pigeonhole sort）— $O(n+k)$ ；需要 $O(k)$ 額外空間
基數排序（radix sort）— $O(nk)$ ；需要 $O(n)$ 額外空間
侏儒排序（gnome sort）— $O(n^{2})$
圖書館排序（library sort）— $O(n\log n)$ 期望时间； $O(n^{2})$ 最坏时间；需要 $(1+\varepsilon )n$ 額外空間
塊排序（英语：Block sort）（block sort）— $O(n\log n)$
Tim排序（Timsort）— $O(n\log n)$ 平均、最坏时间； $O(n)$ 最优时间；需要 $O(n)$ 額外空間；是目前已知最快的排序算法，在Python、Swift、Rust等语言的内置排序功能中被用作默认算法

不穩定的排序

選擇排序（selection sort）— $O(n^{2})$
希爾排序（shell sort）— $O(n\log ^{2}n)$ 如果使用最佳的現在版本
克洛弗排序（Clover sort）— $O(n)$ 期望时间， $O(n^{2})$ 最坏情况^{[來源請求]}
梳排序— $O(n\log n)$
堆排序（heap sort）— $O(n\log n)$
平滑排序（英语：Smoothsort）（smooth sort）— $O(n\log n)$
快速排序（quick sort）— $O(n\log n)$ 期望時間， $O(n^{2})$ 最壞情況
內省排序（introsort）— $O(n\log n)$
耐心排序（patience sort）— $O(n\log n+k)$ 最坏情況時間，需要額外的 $O(n+k)$ 空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

Bogo排序— $O(n\times n!)$ ，最壞的情況下期望時間為無窮。
Stupid排序— $O(n^{3})$ ;遞迴版本需要 $O(n^{2})$ 額外記憶體
珠排序（bead sort）— $O(n)$ 或 $O({\sqrt {n}})$ ,但需要特別的硬體
煎餅排序— $O(n)$ ,但需要特別的硬體
臭皮匠排序（stooge sort）算法简单，但需要约 $n^{2.7}$ 的时间

简要比较

名称	数据对象	稳定性	时间复杂度		額外空间复杂度	描述
名称	数据对象	稳定性	平均	最坏	額外空间复杂度	描述
冒泡排序	数组		$O(n^{2})$		$O(1)$	（无序区，有序区）。從无序区透過交換找出最大元素放到有序区前端。
选择排序	数组		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序区，无序区）。在无序区里找一个最小的元素跟在有序区的后面。对数组：比较得多，换得少。
选择排序	链表		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序区，无序区）。在无序区里找一个最小的元素跟在有序区的后面。对数组：比较得多，换得少。
插入排序	数组、链表		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序区，无序区）。把无序区的第一个元素插入到有序区的合适的位置。对数组：比较得少，换得多。
堆排序	数组		$O(n\log n)$		$O(1)$	（最大堆，有序区）。从堆顶把根卸出来放在有序区之前，再恢复堆。
归并排序	数组		$O(n\log ^{2}n)$		$O(1)$	把数据分为两段，从两段中逐个选最小的元素移入新数据段的末尾。可从上到下或从下到上进行。
	数组		$O(n\log n)$		$O(n)+O(\log n)$ 如果不是从下到上
	链表		$O(n\log n)$		$O(1)$
快速排序	数组		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$	（小数，基准元素，大数）。在区间中随机挑选一个元素作基准，将小于基准的元素放在基准之前，大于基准的元素放在基准之后，再分别对小数区与大数区进行排序。
快速排序	链表		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$
希爾排序	数组		$O(n\log ^{2}n)$	$O(n^{2})$	$O(1)$	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。

计数排序	数组、链表		$O(n+m)$		$O(n+m)$	统计小于等于该元素值的元素的个数i，于是该元素就放在目标数组的索引i位（i≥0）。
桶排序	数组、链表		$O(n)$	$O(n^{2})$	$O(m)$	将值为i的元素放入i号桶，最后依次把桶里的元素倒出来。
基数排序	数组、链表		$O(k\times n)$	$O(n^{2})$		一种多关键字的排序算法，可用桶排序实现。

均按从小到大排列
k代表数值中的"数位"个数
n代表数据规模
m代表数据的最大值减最小值

参考文献

外部链接

查论编排序算法
理论	計算複雜性理論大O符号全序关系数据结构术语列表原地算法稳定性比较排序自适应排序（英语：Adaptive sort）排序网络（英语：Sorting network）整数排序（英语：Integer sorting） X+Y排序（英语：X + Y sorting）量子排序（英语：Quantum sort）
交换排序	冒泡排序鸡尾酒排序奇偶排序梳排序侏儒排序快速排序慢速排序臭皮匠排序 Bogo排序
选择排序	选择排序堆排序平滑排序（英语：Smoothsort）笛卡尔树排序（英语：Cartesian tree sort）锦标赛排序（英语：Tournament sort）圈排序（英语：Cycle sort）弱堆排序（英语：Weak heap）
插入排序	插入排序希尔排序伸展排序二叉查找树排序图书馆排序耐心排序
归并排序	归并排序梯级归并排序（英语：Cascade merge sort）振荡归并排序（英语：Oscillating merge sort）多相归并排序（英语：Polyphase merge sort）
分布排序	美国旗帜排序（英语：American flag sort）珠排序桶排序爆炸排序（英语：Burstsort）计数排序比較計數排序插值排序鸽巢排序相邻图排序（英语：Proxmap sort）基数排序闪电排序（英语：Flashsort）
并发排序	双调排序器（英语：Bitonic sorter） Batcher归并网络两两排序网络（英语：Pairwise sorting network）
混合排序	塊排序（英语：Block sort） Tim排序内省排序 Spread排序（英语：Spreadsort）归并插入排序（英语：Merge-insertion sort）
其他	拓撲排序煎餅排序意粉排序（英语：Spaghetti sort）