Q-模拟

在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪^[1]被引入的基本超几何级数。

q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群和 q-变形代数的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. Jackson^[2] 以及其他人^[3]所扩展。

"经典" q-理论

经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。^[3] 等式

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n$

表示定义n的q-模拟为

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.$

阶乘的q-模拟，称作q-阶乘，被定义为

${\big [}n]_{q}!$ $=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}$

$={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

$=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

[n]_q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对，S_n表示n全排列的集合, 则有

$\sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.$

特别地, 当取极限 $q\rightarrow 1$ 时就得到一般的阶乘公式。

根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:

${\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.$

q-指数定义为:

$e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.$

高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于 ${\binom {n}{k}}_{q}.$ 当q等于1时, 得到二项式系数 ${\binom {n}{k}}.$

^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
^ F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
^ ^3.0 ^3.1 Ernst, Thomas. A Method for q-calculus (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-28）.