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H 2 或H-square 是數學 及控制理論 的用語,是指有平方范数的哈代空間 ,是L 2 空間 的子集合,因此也是希尔伯特空间 。特別的是,H 2 空間也是再生核希尔伯特空间 。
單位圓盤內的H 2 空間
一般而言,單位圓盤內L 2 空間的元素可以表示為
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
e
i
n
φ
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }}
而H 2 空間的元素可以表示為
∑
n
=
0
∞
a
n
e
i
n
φ
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.}
從L 2 空間到H 2 空間的映射(令n < 0時的a n = 0)是orthogonal映射。
半平面中的H 2 空間
拉氏轉換
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
[
L
f
]
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}
可以理解為以下的線性算子
L
:
L
2
(
0
,
∞
)
→
H
2
(
C
+
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)}
其中
L
2
(
0
,
∞
)
{\displaystyle L^{2}(0,\infty )}
為正實數線上平方可積函數 的集合,且
C
+
{\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}
為複平面的右半平面,而且拉氏轉換也是同构 (因為其可逆),而且等距同构 ,因為滿足下式
‖
L
f
‖
H
2
=
2
π
‖
f
‖
L
2
.
{\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}
拉氏轉換是「半個」傅立葉轉換,因為以下的分解
L
2
(
R
)
=
L
2
(
−
∞
,
0
)
⊕
L
2
(
0
,
∞
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}
可以得到
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
正交分解成兩個哈代空間
L
2
(
R
)
=
H
2
(
C
−
)
⊕
H
2
(
C
+
)
.
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}
在本質上就是培力-威納定理 。
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參考資料
Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60 , (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2 .