Artin群
數學上,阿廷群(或Artin group、稱廣義辮群),是指有如下展示的群:
其中
- .
對,表示長度為的和的交錯積,以開首。例如:
- ,
- 。
若,按慣例這表示和間沒有關係。
在整數中加入,可以組成一個對稱矩陣,稱為這個群的考克斯特矩陣(Coxeter matrix)。在Artin群中加入所有形為的關係,得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態的核,稱為純阿廷群(pure Artin group)。
Artin群的類
辮群是Artin群的一種,其考克斯特矩陣為,及當時。
用Artin群的考克斯特矩陣,可以定義出數類重要的Artin群:
有限型Artin群
若M是有限型考克斯特矩陣,使對應的考克斯特群W = A(M)是有限群,那麼Artin群A = A(M)稱為有限型Artin群(Artin group of finite type)。其「不可約型」標記為An , Bn = Cn , Dn , I2(n) , F4 , E6 , E7 , E8 , H3 , H4 。一個有限型純Artin群,可以表現為Cn中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述,算出A的中心、上同調,及解出字問題和共軛問題。
直角Artin群
若矩陣M中除對角線外的元素都是2或∞,則對應的Artin群稱為直角Artin群(right-angled Artin group)。這類Artin群常用以下的方式標記:任何一個有n個頂點的圖 Γ,頂點標記為1, 2, …, n,都可定義一個矩陣M,其中若i和j在Γ中相連,則mij = 2,否則mij = ∞。與矩陣M對應的直角Artin群A(Γ)有n個生成元x1, x2, …, xn及關係
- 若i和j在中相連。
直角Artin群包括了有限秩的自由群,對應無邊線的圖,及有限生成的自由阿貝爾群,對應完全圖。事實上每個秩為r的直角Artin群都是一個秩為r-1的直角Artin群的HNN擴張,兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積(graph product of groups)。直角Artin群是群的圖積的特例,其中每個頂點群都是秩1自由群(即無限循環群)。
Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形(nonpositively curved cubical complex)K,其基本群是一個給定的直角Artin群A(Γ)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證,給出具有性質(FP2)的非有限展示群的第一批例子。
其他Artin群
若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中,對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 3,稱這個群是大型(large type)的;若對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 4,則稱這個群是超大型(extra-large type)的。
凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質,證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立,而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群,並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。
他們證明的定理為:
- 設G為超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I,則GJ有一個展示由考克斯特矩陣MJ定義,且GJ在G中的廣義字問題可解。若J, K ⊆ I則GJ ∩ GK = G (J ∩ K).
- 超大型Artin群是無扭(即無有限目的元素)的。
- 設G為超大型Artin群,則集合{ai2 : i ∈ I}自由生成G的一個自由子群。
- 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。
參考
- Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
- Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
- Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
- Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220