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馬爾可夫方程

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不定方程稱為馬爾可夫方程(英語:Markov equation或Markoff equation)。

求解方法如下:

  • 先憑觀察找出這組解。
  • 方程可視為一個為未知數的一元二次方程。根據韋達定理,可知 (留意)也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上,用這個方法由(1,1,1)開始,可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數(英語:Markov number),它們由小到大是:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (OEIS:A002559

它們組成的解是:

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹(如圖)。

在二元樹上,和 1 的範圍相鄰的數(即二元樹的上方,2, 5, 13, 34, 89, ...),都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數(即二元樹的下方,1, 5, 29, 169, ...)也有相似的特質:它們都是相隔的佩爾數。[1]

猜想

每個數只在樹上出現一次(即沒有正整數使得都是方程的解,其中是兩兩相異的正整數,且)。[2]

赫爾維茨方程

馬爾可夫-赫維茲方程(英語:Markov-Hurwitz equation),是指形式如的不定方程,其中是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了:方程有之外的解的必要條件之一是[3]

參考

  1. ^ [PlanetMath: Markov number. [2007-08-17]. (原始内容存档于2008-12-02). 页面存档备份,存于互联网档案馆(英文)
  2. ^ Tom Ace,Markoff numbers (minortriad.com)页面存档备份,存于互联网档案馆(英文)
  3. ^ Springer Online Reference Works: Hurwitz equation页面存档备份,存于互联网档案馆(英文)