鞅中心极限定理

鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程，其从时间 $t$ 到时间 $t+1$ 的增量，在给定时间 1 到 $t$ 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。

定理内容

鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 $X_{1},X_{2},\dots \,$ 构成一个鞅，即满足条件：

\mathbb {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,

（鞅的定义）

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 $k>0$ ，有：

|X_{t+1}-X_{t}|\leq k

对所有 $t$ 成立。另假设 $|X_{1}|\leq k$ 也成立。定义增量的条件方差为：

\sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty

据此，对任意给定的常数 $\nu >0$ ，可以定义：

\tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：

{\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}

随着 $\nu \to +\infty \!$ 将会依分布收敛于标准正态分布。

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：

\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty

这样可以确保以概率1，下式成立：

\tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

可以通过将 ${\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}$ 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：

{\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 $X_{i+1}-X_{i}$ 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：

\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_{1},\ldots ,X_{i+m}]]=0

Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.
有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930.