重新分布法 （英語：Reassignment Method ）是一種銳化訊號 之時頻表示 的方法，藉由將資料映射至較靠近原始訊號之真實支撐區域 的時頻座標來實現。此方法曾被不同學者獨立提出，並有重映射 （remapping）、時頻重新分布 （time-frequency reassignment）以及修正滑動視窗法 （modified moving-window method）等別稱[ 1] 時頻譜 或短時距傅立葉變換 而言，重新分布法可藉由估算局部的瞬時頻率 以及群延遲 ，使模糊的時頻資料點重新定位並清晰化。當訊號可藉由分析視窗進行時域和頻域的分離時，這項時頻座標的重新映射是相當精準的。
一把未插電的貝斯 （基頻 約73.4赫茲）在撥弦的過程中錄下、重新分布後得到的时频谱 。從左上方數個脊狀突起的頻率分布，可觀察出這個音頻訊號在撥弦當下所產生的各個谐波 。此時頻譜是利用長度為65.7毫秒、外型參數
α
{\displaystyle \alpha }
凯泽窗 計算所得。 許多信号 的能量分布都具有隨著時間和頻率變化的特性。舉例而言，任何有起始或者结束的音頻訊號之能量分布都將隨著時間改變，而大多數聲音的能量不論在時間上還是頻率上都有相當大的變化；時頻分析 便經常用於尋找此類訊號的特徵，這種分析法將原為一維 的時域訊號轉換為二維 的時域–頻域函數。而經分析轉換後的結果便稱為時頻表示
在音頻訊號分析中，时频谱 是最常用的時頻表示 支撑區域 的座標，以將時頻譜或其它時頻表示下較模糊的資料點重新定位並聚焦。
時頻譜為最為人所熟知的時頻表示法之一，其定義為短時距傅立葉變換 值的平方：
S
P
x
(
t
,
f
)
=
|
X
(
t
,
f
)
|
2
=
|
∫
−
∞
∞
w
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
|
2
.
{\displaystyle SP_{x}(t,f)=|X(t,f)|^{2}=\left|\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau \right|^{2}.}
雖然短時距的相位 頻譜確實含有與訊號相關的重要時態資訊，但這些資訊通常難以解讀，故一般而言在短時距頻譜分析中只考慮其短時距強度 頻譜。以時頻表示法而言，時頻譜具有相對較差的解析度。它在時域與頻域的解析度取決於分析時所選擇的視窗函數，且其中一者愈清晰將導致另一者愈模糊。
相對於時頻譜，維格納–魏爾分布 則是另一種解析度較高的時頻表示法；本質上，維格納–魏爾分布的做法與短時距傅立葉變換類似，惟其選擇的視窗函數與訊號之間有完好的對應。維格納–魏爾分布在時域和頻域中皆可得到高解析度，但它同時也具有高度的非線性 和非局部性等特質，因此對雜訊 相當敏感且容易產生覆蓋訊號本身的交叉項，使得含有多成分的訊號分析後的資訊難以解讀。
利用雙線性轉換 得到時頻表示的科恩系列分布 函數則可視為「平滑化」的維格納–魏爾分布。它藉由一平滑核 降低分布對於雜訊的敏感度，並抑制交叉項的產生，但此舉將使時域和頻域的分布模糊化；這不僅會降低頻譜的解析度，同時也可能使原始維格納準機率分布中實際上沒有能量的區域得到非零的能量值。
時頻譜便屬於科恩系列分布之一；它也可視為一種平滑化的維格納–魏爾分布，惟其使用之平滑核即相等於其分析視窗函數的維格納–魏爾分布。重新分布法便是先將維格納–魏爾分布平滑化，再將它於原始訊號成分之真實支撐區域 附近的座標點重新聚焦，進而達到銳化的目的。實驗結果顯示，此方法可以減少任一科恩系列分布在時域與頻域的模糊現象[ 2] [ 3] 支撐區域 的位置。
重新分布法首先由小寺邦彥（Kunihiko Kodera）、羅傑·干德林（Roger Gendrin）和克勞地·德·凡德瑞（Claude de Villedary）三人提出，並命名為「修正滑動視窗法 」（Modified Moving-Window Method）[ 4]
標準的滑動視窗法乃是將一時域訊號
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
基底訊號
h
ω
(
t
)
{\displaystyle h_{\omega }(t)}
ϵ
(
t
,
ω
)
{\displaystyle \epsilon (t,\omega )}
h
ω
(
t
)
=
h
(
t
)
e
j
ω
t
{\displaystyle h_{\omega }(t)=h(t)e^{j\omega t}}
其中，
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
實值 之低通 核函數，如短時距傅立葉變換中的視窗函數。此般分解下的各項係數則可定義如下：
ϵ
(
t
,
ω
)
=
∫
x
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
e
−
j
ω
[
τ
−
t
]
d
τ
=
e
j
ω
t
∫
x
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
e
−
j
ω
τ
d
τ
=
e
j
ω
t
X
(
t
,
ω
)
=
X
t
(
ω
)
=
M
t
(
ω
)
e
j
ϕ
τ
(
ω
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (t,\omega )&=\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\tau \\&=e^{j\omega t}\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\&=e^{j\omega t}X(t,\omega )\\&=X_{t}(\omega )\\&=M_{t}(\omega )e^{j\phi _{\tau }(\omega )}.\end{aligned}}}
其中，
X
t
(
ω
)
{\displaystyle X_{t}(\omega )}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
t
{\displaystyle t}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
M
t
(
ω
)
{\displaystyle M_{t}(\omega )}
ϕ
τ
(
ω
)
{\displaystyle \phi _{\tau }(\omega )}
X
t
(
ω
)
{\displaystyle X_{t}(\omega )}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
(
t
)
=
∬
X
τ
(
ω
)
h
ω
∗
(
τ
−
t
)
d
ω
d
τ
=
∬
X
τ
(
ω
)
h
(
τ
−
t
)
e
−
j
ω
[
τ
−
t
]
d
ω
d
τ
=
∬
M
τ
(
ω
)
e
j
ϕ
τ
(
ω
)
h
(
τ
−
t
)
e
−
j
ω
[
τ
−
t
]
d
ω
d
τ
=
∬
M
τ
(
ω
)
h
(
τ
−
t
)
e
j
[
ϕ
τ
(
ω
)
−
ω
τ
+
ω
t
]
d
ω
d
τ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\iint X_{\tau }(\omega )h_{\omega }^{*}(\tau -t)d\omega d\tau \\&=\iint X_{\tau }(\omega )h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega d\tau \\&=\iint M_{\tau }(\omega )e^{j\phi _{\tau }(\omega )}h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega d\tau \\&=\iint M_{\tau }(\omega )h(\tau -t)e^{j\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]}d\omega d\tau .\end{aligned}}}
當一個訊號的強度頻譜為
M
(
t
,
ω
)
{\displaystyle M(t,\omega )}
t
,
ω
{\displaystyle t,\omega }
∂
∂
ω
[
ϕ
τ
(
ω
)
−
ω
τ
+
ω
t
]
=
0
,
∂
∂
τ
[
ϕ
τ
(
ω
)
−
ω
τ
+
ω
t
]
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0,\\{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0.\end{aligned}}}
亦即滿足下列定義的
t
^
,
ω
^
{\displaystyle {\hat {t}},{\hat {\omega }}}
t
^
(
τ
,
ω
)
=
τ
−
∂
ϕ
τ
(
ω
)
∂
ω
=
−
∂
ϕ
(
τ
,
ω
)
∂
ω
,
ω
^
(
τ
,
ω
)
=
∂
ϕ
τ
(
ω
)
∂
τ
=
ω
+
∂
ϕ
(
τ
,
ω
)
∂
τ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {t}}(\tau ,\omega )&=\tau -{\frac {\partial \phi _{\tau }(\omega )}{\partial \omega }}=-{\frac {\partial \phi (\tau ,\omega )}{\partial \omega }},\\{\hat {\omega }}(\tau ,\omega )&={\frac {\partial \phi _{\tau }(\omega )}{\partial \tau }}=\omega +{\frac {\partial \phi (\tau ,\omega )}{\partial \tau }}.\end{aligned}}}
此現象在光學等領域中稱為穩相原理 準週期 函數而言，其傅立葉相位頻譜在其振盪頻率附近相對於時間的變化較慢，反之在外圍區域則較快。以時域上能量較為集中的脈衝 訊號為例，其相位頻譜在脈衝時間點附近的變化較慢，而較遠的區域則變化較快。
在訊號重建時，合成波形之正值與負值於相位快速變化的頻率區域會因破壞性干涉 而互相抵消。只有相位變化緩慢（即穩相）的區域會對重建的訊號有顯著的影響，故貢獻極大值（訊號的重心 ）即發生在相位隨時間與頻率變化最緩慢的地方。
由此知，可以直接從（一般在建構時頻譜時被忽略的）短時距傅立葉轉換之相位值求得時頻座標，且其值即等於訊號的局部群延遲
t
^
g
(
t
,
ω
)
{\displaystyle {\hat {t}}_{g}(t,\omega )}
和瞬時頻率
ω
^
i
(
t
,
ω
)
{\displaystyle {\hat {\omega }}_{i}(t,\omega )}
修正滑動視窗法（亦即重新分布法）便是將計算
ϵ
(
t
,
ω
)
{\displaystyle \epsilon (t,\omega )}
t
,
ω
{\displaystyle t,\omega }
t
^
(
t
,
ω
)
,
ω
^
(
t
,
ω
)
{\displaystyle {\hat {t}}(t,\omega ),{\hat {\omega }}(t,\omega )}
在數位訊號處理 中，最常見的做法是先在時域與頻域分別對訊號進行取樣 ，並使用離散傅立葉變換 計算時域訊號
x
(
n
)
{\displaystyle x(n)}
X
(
k
)
{\displaystyle X(k)}
偏微分 ，小寺邦彥等人所提出的重新分布法並不能直接套用於離散形式的短時距傅立葉變換；甚至有人[谁？]
然而，偏微分的值可以利用有限差分法 來估計。舉例而言，在相位頻譜上兩個鄰近的時間點（
t
+
Δ
t
/
2
{\displaystyle t+\Delta t/2}
t
−
Δ
t
/
2
{\displaystyle t-\Delta t/2}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
∂
ϕ
(
t
,
ω
)
∂
t
≈
1
Δ
t
[
ϕ
(
t
+
Δ
t
2
,
ω
)
−
ϕ
(
t
−
Δ
t
2
,
ω
)
]
∂
ϕ
(
t
,
ω
)
∂
ω
≈
1
Δ
ω
[
ϕ
(
t
,
ω
+
Δ
ω
2
)
−
ϕ
(
t
,
ω
−
Δ
ω
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial t}}&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left[\phi \left(t+{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)-\phi \left(t-{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)\right]\\{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial \omega }}&\approx {\frac {1}{\Delta \omega }}\left[\phi \left(t,\omega +{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)-\phi \left(t,\omega -{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)\right]\end{aligned}}}
在頻譜上，某些區域的相位變化主要源自於附近某單一弦波成分的旋轉；這些區域內的相位值為一線性函數，因此對於足夠微小的
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
Δ
ω
{\displaystyle \Delta \omega }
道格拉斯·尼爾森（Douglas Nelson）也曾獨立於小寺邦彥等人，開發了利用短時距相位頻譜的偏微分來改善時頻譜之解析度的類似方法[ 5]
弗朗索瓦·俄歇（François Auger）及派翠克·弗朗德蘭（Patrick Flandrin）則指出，小寺邦彥等人所提出的時頻譜重新分布法可透過下述的一般化，延用於任一科恩系列 的時頻表示法：
t
^
(
t
,
ω
)
=
t
−
∬
τ
⋅
W
x
(
t
−
τ
,
ω
−
ν
)
⋅
Φ
(
τ
,
ν
)
d
τ
d
ν
∬
W
x
(
t
−
τ
,
ω
−
ν
)
⋅
Φ
(
τ
,
ν
)
d
τ
d
ν
ω
^
(
t
,
ω
)
=
ω
−
∬
ν
⋅
W
x
(
t
−
τ
,
ω
−
ν
)
⋅
Φ
(
τ
,
ν
)
d
τ
d
ν
∬
W
x
(
t
−
τ
,
ω
−
ν
)
⋅
Φ
(
τ
,
ν
)
d
τ
d
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {t}}(t,\omega )&=t-{\frac {\iint \tau \cdot W_{x}(t-\tau ,\omega -\nu )\cdot \Phi (\tau ,\nu )d\tau d\nu }{\iint W_{x}\left(t-\tau ,\omega -\nu \right)\cdot \Phi (\tau ,\nu )d\tau d\nu }}\\{\hat {\omega }}(t,\omega )&=\omega -{\frac {\iint \nu \cdot W_{x}(t-\tau ,\omega -\nu )\cdot \Phi (\tau ,\nu )d\tau d\nu }{\iint W_{x}(t-\tau ,\omega -\nu )\cdot \Phi (\tau ,\nu )d\tau d\nu }}\end{aligned}}}
其中，
W
x
(
t
,
ω
)
{\displaystyle W_{x}(t,\omega )}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
維格納–魏爾分布 ，而
Φ
(
t
,
ω
)
{\displaystyle \Phi (t,\omega )}
[ 2]
t
^
(
t
,
ω
)
=
t
−
ℜ
{
X
T
h
(
t
,
ω
)
⋅
X
∗
(
t
,
ω
)
|
X
(
t
,
ω
)
|
2
}
ω
^
(
t
,
ω
)
=
ω
+
ℑ
{
X
D
h
(
t
,
ω
)
⋅
X
∗
(
t
,
ω
)
|
X
(
t
,
ω
)
|
2
}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {t}}(t,\omega )&=t-\Re \left\{{\frac {X_{{\mathcal {T}}h}(t,\omega )\cdot X^{*}(t,\omega )}{|X(t,\omega )|^{2}}}\right\}\\{\hat {\omega }}(t,\omega )&=\omega +\Im \left\{{\frac {X_{{\mathcal {D}}h}(t,\omega )\cdot X^{*}(t,\omega )}{|X(t,\omega )|^{2}}}\right\}\end{aligned}}}
其中，
X
(
t
,
ω
)
{\displaystyle X(t,\omega )}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
X
T
h
(
t
,
ω
)
{\displaystyle X_{{\mathcal {T}}h}(t,\omega )}
h
T
(
t
)
=
t
⋅
h
(
t
)
{\displaystyle h_{\mathcal {T}}(t)=t\cdot h(t)}
X
D
h
(
t
,
ω
)
{\displaystyle X_{{\mathcal {D}}h}(t,\omega )}
h
D
(
t
)
=
d
d
t
h
(
t
)
{\displaystyle h_{\mathcal {D}}(t)={\tfrac {d}{dt}}h(t)}
h
T
(
t
)
{\displaystyle h_{\mathcal {T}}(t)}
h
D
(
t
)
{\displaystyle h_{\mathcal {D}}(t)}
t
,
ω
{\displaystyle t,\omega }
t
,
ω
{\displaystyle t,\omega }
上述方法有一限制，即
|
X
(
t
,
ω
)
|
2
{\displaystyle |X(t,\omega )|^{2}}
「open」一字之語音訊號透過較長之分析視窗重新分布後得到的时频谱。其結果為利用長度為54.4毫秒、外型參數
α
{\displaystyle \alpha }
「open」一字之語音訊號透過較短之分析視窗重新分布後得到的时频谱。其結果為利用長度為13.6毫秒、外型參數
α
{\displaystyle \alpha }
短時距傅立葉變換經常用於估算一個多成分訊號（例如準諧波的樂器音）中個別單一成分的振幅和相位，而時頻重新分布則能將變換後的時頻點集中至能量分布的局部重心，使頻譜更加清晰。
對單一成分的訊號而言，其瞬時頻率可由該訊號經任意短時距傅立葉變換後得到的相位之偏微分估算。若訊號可拆解為多個成分：
x
(
t
)
=
∑
n
A
n
(
t
)
e
j
θ
n
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\sum _{n}A_{n}(t)e^{j\theta _{n}(t)}}
且定義各成分的瞬時頻率為其相位對時間的偏微分，即：
ω
n
(
t
)
=
d
θ
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle \omega _{n}(t)={\frac {d\theta _{n}(t)}{dt}}}
則可以藉由設計適當的帶通濾波器 使其通帶只包含某一特定訊號成分，再從該濾波器經變換後之頻譜的相位值，計算該訊號成分的瞬時頻率。
尼爾森稱這項頻域中的條件為「可分離性」（separability）[ 5]
若某特定的短時距頻譜分析視窗可用於拆解訊號中不同頻率的成分，則每個濾波器經短時距傅立葉變換後的脈衝響應便是（至多一項）單一主要訊號成分（即能量最大）經濾波後的結果，故
X
(
t
,
ω
0
)
{\displaystyle X(t,\omega _{0})}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ω
n
(
t
)
{\displaystyle \omega _{n}(t)}
x
n
(
t
)
{\displaystyle x_{n}(t)}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ω
n
(
t
)
=
∂
∂
t
arg
{
x
n
(
t
)
}
=
∂
∂
t
arg
{
X
(
t
,
ω
0
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{n}(t)&={\frac {\partial }{\partial t}}\arg\{x_{n}(t)\}\\&={\frac {\partial }{\partial t}}\arg\{X(t,\omega _{0})\}\end{aligned}}}
頻域的可分離性要求每個帶通濾波器經短時距傅立葉變換後，最多只可通過一項訊號成分，而在時域同樣也有類似的限制：訊號中兩個不同時間的成分（即事件）彼此間分隔須夠大，使得任一時域視窗下的分段，都不得包含超過一個事件。此即時域下的可分離性條件，且等義於任兩事件間的間隔須大於短時距傅立葉變換濾波器之脈衝響應長度，也就是
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
一般而言，任一多成分訊號有無限多種相同合理的拆解方式；不過，可分離性必須是在所欲求得的拆解下進行考慮。舉例而言，在分析一個語音訊號時，若使用時間範圍較聲門脈衝間隔長的分析視窗，則足以將不同諧波分離；但個別的聲門脈衝則會因單一視窗包含了多個脈衝而被模糊，也就是所選的分析視窗使得訊號在時域中不具可分離性。反之，若使用時間範圍遠小於聲門脈衝間隔的分析視窗，則能夠成功分離每個脈衝，因為每個視窗中最多只包含一個脈衝；但不同諧波便會彼此模糊交疊，因為視窗在頻域中的範圍比單一諧波還要寬，也就是所選的分析視窗使得訊號在頻域中不具可分離性。
^ Hainsworth, Stephen. Chapter 3: Reassignment methods. Techniques for the Automated Analysis of Musical Audio (学位论文). University of Cambridge. 2003. （原始内容存档 于2013-05-24）. ^ 2.0 2.1
F. Auger & P. Flandrin. Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by the reassignment method. IEEE Transactions on Signal Processing. May 1995, 43 (5): 1068–1089. doi:10.1109/78.382394
^ P. Flandrin, F. Auger, and E. Chassande-Mottin,
Time-frequency reassignment: From principles to algorithms ,
in Applications in Time-Frequency Signal Processing
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (t,\omega )&=\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\tau \\&=e^{j\omega t}\int x(\tau )h(t-\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\&=e^{j\omega t}X(t,\omega )\\&=X_{t}(\omega )\\&=M_{t}(\omega )e^{j\phi _{\tau }(\omega )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967f972a99b8ed7144c57b12bc9cc9d72cffb623)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\iint X_{\tau }(\omega )h_{\omega }^{*}(\tau -t)d\omega d\tau \\&=\iint X_{\tau }(\omega )h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega d\tau \\&=\iint M_{\tau }(\omega )e^{j\phi _{\tau }(\omega )}h(\tau -t)e^{-j\omega \left[\tau -t\right]}d\omega d\tau \\&=\iint M_{\tau }(\omega )h(\tau -t)e^{j\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]}d\omega d\tau .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f4a4a8b8a3672950a81eeae904436179c1e899)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0,\\{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\phi _{\tau }(\omega )-\omega \tau +\omega t\right]&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f796b81a2106fb51b25eaa96e78165ccaf5eef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial t}}&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left[\phi \left(t+{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)-\phi \left(t-{\frac {\Delta t}{2}},\omega \right)\right]\\{\frac {\partial \phi (t,\omega )}{\partial \omega }}&\approx {\frac {1}{\Delta \omega }}\left[\phi \left(t,\omega +{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)-\phi \left(t,\omega -{\frac {\Delta \omega }{2}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8361b3975cd8b46baa8db49b213dee37964634a)
