逆小波轉換

逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數，小波轉換大致分為三類

連續小波轉換
離散變數連續小波轉換
離散小波轉換

分別介紹此三種的反函數

連續小波轉換反函數

已知

$X_{w}(a,b)={\frac {1}{\sqrt {|(b)|}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dt$

則逆轉換為

$x(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{b^{5/2}}}X_{w}(a,b)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dadb$

其中

$C_{\psi }=\int _{0}^{\infty }{\frac {|{\boldsymbol {\psi }}(f)|^{2}}{|f|}}df<\infty$

證明:

由於 $X_{w}(a,b)=x(t)*{\frac {1}{\sqrt[{}]{b}}}\psi ({\frac {-t}{b}})$

假設 $y(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{b^{5/2}}}X_{w}(a,b)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dadb$

則 $y(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }x(t)*\psi ({\frac {-t}{b}})*\psi ({\frac {t}{b}}){\frac {db}{b^{3}}}$

經過傅立葉轉換，原本的摺積性質變為相乘

$Y(f)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }X(f){\boldsymbol {\psi }}(-bf){\boldsymbol {\psi }}(bf){\frac {db}{b}}$

如果母小波為實函數，則其傅立葉轉換有以下性質

${\boldsymbol {\psi }}(-f)={\boldsymbol {\psi }}^{*}(f),{\boldsymbol {\psi }}(-bf){\boldsymbol {\psi }}(bf)={\boldsymbol {\psi }}^{*}(f){\boldsymbol {\psi }}(bf)=|{\boldsymbol {\psi }}(bf)|^{2}$

$Y(f)=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(bf)|^{2}{\frac {db}{b}}$

$=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(f_{1})|^{2}{\frac {df_{1}}{bf}}$ (使用變數代換 $f_{1}=bf$ )

$=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(f_{1})|^{2}{\frac {df_{1}}{bf_{1}}}$

$=X(f)$

得證 $y(t)=x(t)$

離散變數連續小波轉換反函數

$x(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m/2}\psi _{1}(2^{m}-n)X_{w}(n,m)$

$\psi _{1}(t)$ 為 $\psi (t)$ 的雙效函數(dual function)，滿足以下正交(orthogonal)特性

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m}-n)\psi (2^{m}t_{1}-n)=\delta (t-t_{1})$

或是

$\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})$

通常會設計成 $\psi _{1}(t)=\psi (t)$

因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:

$\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})$

離散小波轉換反函數

在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數

以進行一階離散小波轉換，升降頻倍率為2為例，可以得到右圖的架構

DWT reconstruction

$g_{1}[n],h_{1}[n]$ 需要滿足一些條件才能使 $x[n]=x_{0}[n]$

將此流程進行Z轉換及化簡可得到:

$X_{0}(z)={\frac {1}{2}}[G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)]X(z)+{\frac {1}{2}}[G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)]X(-z)$

因此為了得到 $X_{0}(z)=X(z)$ ，須滿足以下二條件

$G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)=2$
$G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)=0$

可轉換為 ${\begin{bmatrix}G(z)&H(z)\\G(-z)&H(-z)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}G_{1}(z)\\H_{1}(z)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}$

化簡得到 ${\begin{bmatrix}G_{1}(z)\\H_{1}(z)\end{bmatrix}}={\frac {2}{det(H_{m}(z))}}{\begin{bmatrix}H(-z)\\-G(-z)\end{bmatrix}}$ 其中 $det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)$