偽多邊形
偽多邊形 超無限邊形 | |
---|---|
類型 | 正多邊形 二維雙曲鑲嵌 |
對偶 | 自身對偶 |
邊 | iπ/λ ∞ |
頂點 | iπ/λ ∞ |
施萊夫利符號 | {iπ/λ} {∞} |
考克斯特符號 | |
對稱群 | [iπ/λ] |
內角(度) | 雙曲平角 |
特性 | 非嚴格凸, 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, 雙曲線, 發散 |
在幾何學中,偽多邊形(英語:pseudogon)又稱為超無限邊形,是一種位於雙曲平面上的無限邊形,具有偽多邊形群(pseudogonal group)的對稱性,諾曼·約翰遜將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形,其外接圓為極限圓,正偽多邊形在施萊夫利符號中用{iπ/λ}表示,其中λ表示發散垂直鏡射的週期距離[1],用來表示其拓撲結構具有比無限邊形更多的邊與頂點,換句話說,若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形,也因此偽多邊形無法在平面上存在。此外,偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形[2],此種情況下未必需要位於雙曲面,這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon[3][4]。
正偽多邊形
正偽多邊形(英語:regular pseudogon)又稱雙曲正無限邊形,是雙曲線H1(並非歐幾里得線)分割為每段長度為2λ線段形成的無限邊形,為具有[iπ/λ]考克斯特群的羅氏無限邊形,可以視為正無限邊形的一種類似物。[5]依據其考克斯特群,其邊數和頂點數將會是iπ/λ個,事實上它頂點數為正無窮大,邊長為2λ,其中iπ/λ用來表示超平形(ultraparallel)的鏡射,虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。
其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪,和三維雙曲密鋪如:正七邊形鑲嵌、七階三角形鑲嵌等,做類比[6]。其屬於非緊湊空間。
正偽多邊形無法在平面上存在,但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓和內切圓,但他們必須是雙曲超圓形。
扭歪偽多邊形
扭歪偽多邊形(英語:Skew pseudogon)是偽多邊形對應的扭歪多邊形,即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。
圍繞著偽多邊形的三角形也可以構造出等邊扭歪偽多邊形 |
{3,7}的皮特里多邊形 | t{3,7}的皮特里多邊形 |
---|---|
正扭歪 |
半正扭歪 |
鑲嵌與密鋪
正偽多邊形不能構成平面鑲嵌,但可以構成雙曲鑲嵌,如三階偽多邊形鑲嵌,其考克斯特記號計為。該鑲嵌可以視為偽多邊形在三維空間的類比,稱為偽多面體(pseudohedron)。
二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面,稱為二階偽多邊形鑲嵌。
正 | 半正 | ||
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∞.∞ | 2∞ | 4.4.∞ | 3.3.3.∞ |
{iπ/λ, 2} |
{2, iπ/λ} |
t{2, iπ/λ} |
sr{2, iπ/λ} |
對稱群:[iπ/λ,3], (*∞32) | [iπ/λ,3]+ (∞32) |
[1+,iπ/λ,3] (*∞33) |
[iπ/λ,3+] (3*∞) | ||||||||
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考克斯特記號 | |||||||||||
= |
= |
= |
= or |
= or |
= | ||||||
圖像 | |||||||||||
頂點圖 | ∞.∞.∞ | 3.∞.∞ | 3.∞.3.∞ | ∞.6.6 | 3∞ | 3.4.∞.4 | 4.6.∞ | 3.3.3.3.∞ | 3.∞.3.∞.3.∞ | ||
類比 | {∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h2{∞,3} | s{3,∞} |
半正對偶 | |||||||||||
考克斯特記號 | |||||||||||
圖像 | |||||||||||
頂點布局 類比 |
V∞3 | V3.∞.∞ | V(3.∞)2 | V6.6.∞ | V3∞ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞)3 | V3.3.3.3.3.∞ |
高維類比
偽多面體(pseudohedron)是偽多邊形在三維空間的類比,即在三維非緊雙曲空間中的無限面體,又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌,由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中,即幾何中心跑到龐加萊模型外,其外接球為三維雙曲極限球。
偽多胞體(pseudotope)則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比,例如四階一百二十胞體堆砌[8]。
但嚴格來說,偽多胞形(pseudotope)只會在二維雙曲空間討論,由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面,因此只能用雙曲鏡射的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。
群 | 赫爾曼莫金記號 | 軌道流形 | 考克斯特 | 考克斯特圖 | 階 |
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有限 | |||||
Zn | n | n• | [n]+ | n | |
Dn | nm | *n• | [n] | 2n | |
仿射 | |||||
Z∞ | ∞ | ∞• | [∞]+ | ∞ | |
Dih∞ | ∞m | *∞• | [∞] | ∞ | |
雙曲 | |||||
Z∞ | [πi/λ]+ | ∞ | |||
Dih∞ | [πi/λ] | ∞ |
參見
參考文獻
- ^ Johnson, Norman W. 11.2 The polygonal groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 141.
- ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
- ^ 台北盆地聚落發展之空間分析 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 國立台灣大學地理環境資源學系暨研究所 2005-10-31
- ^ 中學地理科常用英漢辭彙 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 香港教育局
- ^ Johnson, Norman W. 11: Finite Symmetry Groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 226 [2022-05-30]. (原始内容存档于2022-08-03).
- ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb (页面存档备份,存于互联网档案馆) (2014/08/01)
- ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)