贝叶斯置信区间

贝叶斯置信区间 英文名为 Credible Interval^[1]，有时也简称为置信区间。给定一定的实验（测量）结果，通过贝叶斯的理论可以计算出被估计参数的后验概率分布，从而得到一定置信概率下参数的取值区间。

形式化的描述

设被估计的参数为 $x$ ，为了测量这个数据，（独立的）做了 $n$ 次实验，实验的结果集计为

 $Y=\left\{y(i),i=1,...,n\right\}$

对于每次实验，我们定义实验结果似然概率密度函数：

 $P\left(y(i)|x\right)$

从而所有实验的似然概率密度函数是：

 $P(Y|x)=\Pi _{i}^{n}P\left(y(i)|x\right)$

利用贝叶斯公式，我们可以得到 x 的后验概率密度：

 $p(x|Y)={\frac {P(Y|x)P(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }P(Y|x)P(x)dx}}$

其中 $p(x)$ 是 x 的先验概率密度，也就是不考虑（本次）实验结果的情况下对于 x 的基本认识和假设；如果 x 为离散值，把积分符号变成求和即可。

最后的置信区间就是在 $p(x|Y)$ 上找到一个 x 的取值区间（通常是连续的），这个区间的面积等于置信概率（区间的选取方法可以有多种）。