舒尔正交关系

舒尔正交关系（英語：Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。

有限群

令 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}$ 是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 $G=\{R\}$ 的一个不可约矩阵表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 是酉的：

$\sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,$

这里 $l_{\lambda }$ 是表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 的（有限）维数。

正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.$

这里 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}$ 是 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,$ 的複共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 $\Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}$，则克罗内克函数 $\delta _{\lambda \mu }$ 是单位；如果 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 与 $\Gamma ^{(\mu )}$ 不等价则$\delta _{\lambda \mu }$为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等（$n=n'$ 和 $m=m'$）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0$

对 $n,m=1,\ldots ,l_{\mu }$ ，此式對任何不等于单位表示的不可约表示 $\Gamma ^{(\mu )}\,$成立。

例子

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 $S_{3}$（对称群）。这个群同构于点群 $C_{3v}$，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在 $S_{3}$ 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 $\lambda =[2,1]$ 而在 $C_{3v}$ 情形通常写成 $\lambda =E$。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}$

元素 (1,1) 的正规化为：

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.$

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.$

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

直接推论

矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

$\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}$.

所有迹的集合 $\chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}$ 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 $\chi ^{(\lambda )}$

$\chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)$.

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,$

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,$

这帮助我们确认不可约表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 在具有特征标 $\chi (R)$ 的可约表示 $\Gamma \,$ 中包含的次数。

例如，如果

$n^{(\lambda )}\,|G|=96$

这个群的阶是

$|G|=24\,$

则 $\Gamma ^{(\lambda )}\,$ 在给定“可约”表示 $\Gamma \,$ 中包含的次数是

$n^{(\lambda )}=4\,.$

关于群特征表参见特征标理论。

紧群

有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 $G$ 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 $dg$。设 $(\pi ^{\alpha })$ 是 $G$ 的不可约表示的一个完备集合，设 $\phi _{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>$ 是表示 $\pi ^{\alpha }$ 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 $\pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }$ 则：

$\int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0$

2)如果 $\{e_{i}\}$ 是表示空间 $\pi ^{\alpha }$ 的一个正交规范基，则：

$d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}$

这里 $d^{\alpha }$ 是 $\pi ^{\alpha }$ 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

例 $SO(3)$

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： $\mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )$。界限是 $0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi$ 以及 $0\leq \beta \leq \pi$。

体积元素 $\omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}$ 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） $\omega (\mathbf {x} )$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 $\omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,$，而 n, ψ 参数化给出权重t $\omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,$，其中 $0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi$。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

$\Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.$

简记成

$\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}$

正交关系具有形式

$\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},$

群的体积是

$|G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.$

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix）$D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )$，它们的维数是 $2\ell +1$。故

$|SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},$

它们满足

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.$

参考文献

任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
• W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
• J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).