能斯特-普朗克方程

能斯特-普朗克方程（英語：Nernst–Planck equation）是一个用来描述带电荷的化学物质在流体中运动的方程。它拓展了菲克定律，可以描述粒子在扩散的同时因为静电力而相对于流体移动的情况。

此方程因瓦尔特·能斯特和马克斯·普朗克命名。

方程

它描述了同时受粒子浓度梯度和电场E = −∇φ −∂A/∂t影响的粒子流通量：

${\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot J\quad |\quad J=-\left[D\nabla c-uc+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

$\iff {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-uc+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

其中J是扩散通量密度， t是时间， D是化学物质的扩散率， c是物质的浓度， z是离子物质的化合价， e是元素电荷， k_B是玻尔兹曼常数， T是温度$u$是流体的速度， $\phi$是电势， $\mathbf {A}$是磁矢量势。

如果扩散粒子本身带电，它们就会受到电场的影响。因此，能斯特-普朗克方程可用于描述土壤中的离子交换动力学。

将时间导数设置为零，并将流体速度设置为零（仅离子在运动），

$J=-\left[D\nabla c+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

在静态电磁条件下，可得稳态能斯特-普朗克方程

$J=-\left[D\nabla c+{\frac {Dze}{k_{B}T}}c(\nabla \phi )\right]$

最后，以mol /（m ² ·s）为单位，带入理想气体常数R，可获得更熟悉的方程形式：

$J=-D\left[\nabla c+{\frac {zF}{RT}}c(\nabla \phi )\right]$

其中F是等于N_Ae的法拉第常数。