线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
線性映射 （英語：linear map ）是向量空間 之間，保持向量加法和純量乘法的函數 。線性映射也是向量空間作為模的同態 [ 1]
線性算子 （英語：linear operator ）與線性轉換 （英語：linear transformation ，又稱線性變換 ）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞 一節。
設
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
體 為
K
{\displaystyle K}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\to W}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
映射 。如果
f
{\displaystyle f}
維持向量加法 ——對於任意兩個
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
維持純量乘法 ——對於任何
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
f
(
a
⋅
x
)
=
a
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle f(a\cdot x)=a\cdot f(x)}
則稱
f
{\displaystyle f}
K
{\displaystyle K}
-線性映射 。在係數體不致混淆的情況下也經常簡稱線性映射。
這等價於要求
f
{\displaystyle f}
x
1
,
…
,
x
m
∈
V
{\displaystyle x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\in V}
a
1
,
…
,
a
m
∈
K
{\displaystyle a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\in K}
f
(
a
1
⋅
x
1
+
⋯
+
a
m
⋅
x
m
)
=
a
1
⋅
f
(
x
1
)
+
⋯
+
a
m
⋅
f
(
x
m
)
{\displaystyle f(a_{1}\cdot x_{1}+\cdots +a_{m}\cdot x_{m})=a_{1}\cdot f(x_{1})+\cdots +a_{m}\cdot f(x_{m})}
任何的體
K
{\displaystyle K}
體 同樣為
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
線性泛函 泛函分析 最成熟的分支。
線性映射中的「線性」與「函數圖形是直線」沒有任何關聯。 定義域和對應域相同的線性映射可以進行函數合成，合成的結果依然會是線性映射。但是如果改變合成的順序，那合成出來的結果通常不會相同。例如「把函數乘上
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
[ 2] 維持向量加法的映射可能不維持純量乘法；同樣地，維持純量乘法的映射也可能不維持向量加法。[ 3]
線性變換 和線性算子 這兩個名詞，與本條目的線性映射 密切相關，但不同作者有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如
f
:
V
→
V
{\displaystyle f:V\rightarrow V}
特殊線性映射 ，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。
比如Axler 和龔昇 就稱這種特殊線性映射為線性算子 [ 4] [ 5] 線性映射 和線性變換 視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性映射稱為線性變換 [ 6] 泛函分析 的書籍一般將三者都視為本條目所定義的「線性映射 」，其他細節以函數的符號傳達[ 7] [ 8]
本條目採用泛函分析的習慣。
對於實數，映射
x
↦
x
2
{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
如果
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
矩陣 ，則
A
{\displaystyle A}
R
n
{\displaystyle R^{n}}
R
m
{\displaystyle R^{m}}
列向量
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in R^{n}}
A
x
∈
R
m
{\displaystyle Ax\in R^{m}}
積分 生成從在某個區間 上所有可積分實函數的空間到
R
{\displaystyle R}
[ 9] 微分 是從所有可微分函數的空間到所有函數的空間的線性映射。[ 9] “給函數乘上
x
2
{\displaystyle x^{2}}
[ 9]
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
後向移位（backward shift）運算是一種線性映射。即把無窮維向量
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)}
T
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
=
(
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle \operatorname {T} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)=(x_{2},x_{3},x_{4},...)}
[ 9] 如果
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
F
{\displaystyle F}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
dim
F
(
W
)
×
dim
F
(
V
)
{\displaystyle \dim _{F}(W)\times \dim _{F}(V)}
[ 9] 一次函數
y
=
f
(
x
)
=
x
+
b
{\displaystyle y=f(x)=x+b}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
這里所說的線性不是指函數圖像為直線 。）同理，平移變換一般也不是線性變換（平移距離為零時才是線性變換）。[ 10] [ 11]
若
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
維 的、有相同的 係數體
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
矩陣 表示。
假設
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
B
V
=
{
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}}
B
W
=
{
β
1
,
β
2
,
…
,
β
m
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}}
分別是
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
基底 。
根據基底
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
α
i
∈
B
V
{\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
t
1
i
,
t
2
i
,
…
,
t
m
i
∈
K
{\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
T
(
α
i
)
=
∑
j
=
1
m
t
j
i
⋅
β
j
=
t
1
i
⋅
β
1
+
t
2
i
⋅
β
2
+
⋯
+
t
m
i
⋅
β
m
{\displaystyle T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}}
直觀上，純量
t
1
i
,
t
2
i
,
…
,
t
m
i
∈
K
{\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
α
i
∈
B
V
{\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
T
(
α
i
)
∈
W
{\displaystyle T(\alpha _{i})\in W}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
現在任取一個
V
{\displaystyle V}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
B
V
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
K
{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K}
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
⋅
α
i
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}}
這樣根據求和符號 的性質，可以得到
T
(
v
)
=
∑
i
=
1
n
v
i
⋅
(
∑
j
=
1
m
t
j
i
⋅
β
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
(
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
=
∑
j
=
1
m
∑
i
=
1
n
(
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
=
∑
j
=
1
m
(
∑
i
=
1
n
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
{\displaystyle T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}}
然後考慮到
T
(
v
)
∈
W
{\displaystyle T(v)\in W}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
m
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K}
T
(
v
)
=
∑
j
=
1
m
λ
j
⋅
β
j
{\displaystyle T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}}
因為這樣的純量
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
M
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K}
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,\,2,\,\ldots ,\,m}
λ
j
=
∑
i
=
1
n
t
j
i
v
i
{\displaystyle \lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}}
考慮到矩陣乘法 的定義，上式可以改寫為
[
λ
1
λ
2
⋮
λ
m
]
=
[
t
11
t
12
…
t
1
n
t
21
t
22
…
t
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
t
m
1
t
m
2
…
t
m
n
]
[
v
1
v
2
⋮
v
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}
也就是說，只要知道
T
(
α
i
)
{\displaystyle T(\alpha _{i})}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
t
j
i
{\displaystyle t_{ji}}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
T
(
v
)
{\displaystyle T(v)}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
行向量
v
=
[
v
i
]
n
×
1
{\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
T
(
α
i
)
{\displaystyle T(\alpha _{i})}
行 （column ）擺放所構成的。
由上面的推導可以知道，不同的基底
B
V
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
不同 ，為了強調這點，也會將矩陣
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
T
=
[
T
]
B
W
B
V
{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}
來強調這種關聯性。
若
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
V
{\displaystyle V}
B
V
=
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}}
T
=
[
T
]
B
V
{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}
若有由
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}
f
:
K
n
×
1
→
K
m
×
1
{\displaystyle f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}}
f
(
x
)
=
A
x
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }
其中
x
=
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
∈
K
n
×
1
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}}
因為矩陣乘法 只有唯一的結果，上面的定義的確符合函數 定義的基本要求。然後考慮
K
n
×
1
{\displaystyle K^{n\times 1}}
K
m
×
1
{\displaystyle K^{m\times 1}}
同個 純量體
K
{\displaystyle K}
向量空間 ，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數
f
{\displaystyle f}
根据积 和余积 的泛性质，我们有
H
o
m
(
⨁
i
∈
I
U
i
,
∏
j
∈
J
V
j
)
≃
∏
i
∈
I
∏
j
∈
J
H
o
m
(
U
i
,
V
j
)
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} \left(\bigoplus _{i\in I}U_{i},\prod _{j\in J}V_{j}\right)\simeq \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\mathrm {Hom} \left(U_{i},V_{j}\right).}
在
K
{\displaystyle K}
线性空间 构成的范畴 中，有限个线性空间的余积和积是一回事。对于
U
,
V
{\displaystyle U,V}
b
1
,
…
,
b
n
,
b
1
′
,
…
,
b
m
′
{\displaystyle {\mathbf {b}}_{1},\dots ,{\mathbf {b}}_{n},{\mathbf {b}}'_{1},\dots ,{\mathbf {b}}'_{m}}
U
i
=
b
i
K
,
V
i
=
b
i
′
k
{\displaystyle U_{i}={\mathbf {b}}_{i}K,V_{i}={\mathbf {b}}'_{i}k}
H
o
m
(
U
i
,
V
j
)
≃
K
{\displaystyle \mathrm {Hom} (U_{i},V_{j})\simeq K}
H
o
m
(
U
,
V
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (U,V)}
n
m
{\displaystyle nm}
K
{\displaystyle K}
把線性映射寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和覆合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。[ 12] 分塊 計算，可以通過適當的變換以“解耦”（把覆雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩 ，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
遇到
y
=
x
+
3
{\displaystyle y=x+3}
計算機圖形學 和剛體理論（及其相關機械制造 和機器人學 ）中都有大量應用。
對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化 （不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的準對角矩陣 ），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變量 ）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
n
{\displaystyle A^{n}}
遞推數列 通項公式 的線性代數求解法和馬爾可夫鏈 的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個0的條件[ 13]
二維空間
R
2
{\displaystyle R^{2}}
逆時針旋轉 90度：
A
=
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
逆時針旋轉
θ
{\displaystyle \theta }
[ 14]
A
=
[
cos
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}
針對y 軸反射 ：
A
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
在所有方向上放大 2倍：
A
=
[
2
0
0
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}}
水平錯切 ：
A
=
[
1
m
0
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}
擠壓 ：
A
=
[
k
0
0
1
/
k
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}}
向y 軸投影 ：
A
=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
兩個線性映射的覆合映射 是線性的：如果
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
g
:
W
→
Z
{\displaystyle g:W\rightarrow Z}
g
∘
f
:
V
→
Z
{\displaystyle g\circ f:V\rightarrow Z}
若線性映射可逆 ，則該線性映射的逆 也是線性映射。
如果
f
1
:
V
→
W
{\displaystyle f_{1}:V\rightarrow W}
f
2
:
V
→
W
{\displaystyle f_{2}:V\rightarrow W}
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
(
f
1
+
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
{\displaystyle \left(f_{1}+f_{2}\right)\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right)}
如果
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
a 是基礎體K 的一個元素，則定義自 (af )(x ) = a (f (x ))的映射af 也是線性的。
所以從
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle L\left(V,W\right)}
K
{\displaystyle K}
H
o
m
(
V
,
W
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} \left(V,W\right)}
V
=
W
{\displaystyle V=W}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
映射覆合 下的結合代數 ，因為兩個線性映射的覆合再次是線性映射，所以映射的覆合總是結合律的。
給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性映射的覆合對應於矩陣乘法 ，線性映射的加法對應於矩陣加法 ，而線性映射與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。
自同態的線性映射在泛函分析和量子力學 中都有很重要的地位。按前文約定，我們用“線性算子”來簡稱它。（注意泛函分析中所說的“線性算子”不一定是自同態 (endomorphism)映射，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用“線性算子”來稱呼這種自同態。）
自同態 是一個數學對象 到它本身的保持結構的映射（同態 ），例如群
G
{\displaystyle G}
群同態
f
:
G
→
G
{\displaystyle f:G\to G}
V
{\displaystyle V}
f
:
V
→
V
{\displaystyle f:V\rightarrow V}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
結合代數 ，帶有在體
K
{\displaystyle K}
恒等映射
i
d
:
V
→
V
{\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}
若
V
{\displaystyle V}
同構 則稱之為自同構 。兩個自同構的覆合 再次是自同構，所以
V
{\displaystyle V}
群 ，
V
{\displaystyle V}
自同構群 可表為
A
u
t
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
G
L
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (V)}
A
u
t
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
可逆元群 。
如果
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
同構 於帶有在
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
結合代數 ，且
V
{\displaystyle V}
同構 於帶有在
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
一般線性群
G
L
(
n
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}
若尔当标准型 叙述了代数闭域
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
有理标准型 是将其推广到任意域上的方法。
對於一個線性映射
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
核 （ Kernel ）——送到零向量的那些向量：
K
e
r
(
f
)
:=
f
−
1
(
0
)
=
{
x
∈
V
∣
f
(
x
)
=
0
}
⊆
V
{\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(\mathbf {0} )=\{x\in V\mid f(x)=\mathbf {0} \}\subseteq V}
像 （ Image ）——把整個空間送過去後的結果：
I
m
(
f
)
:=
f
(
V
)
=
{
f
(
x
)
∈
W
∣
x
∈
V
}
⊆
W
{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(V)=\{f(x)\in W\mid x\in V\}\subseteq W}
那麼
Ker
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}
V
{\displaystyle V}
子空間 ，而
Im
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (f)}
W
{\displaystyle W}
秩-零化度定理 的維度公式經常是有用的：
dim
(
K
e
r
(
f
)
)
+
dim
(
I
m
(
f
)
)
=
dim
(
V
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\mathrm {Im} (f))=\dim(V)}
dim
(
I
m
(
f
)
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Im} (f))}
f
{\displaystyle f}
r
k
(
f
)
{\displaystyle \mathrm {rk} (f)}
ρ
(
f
)
{\displaystyle \rho (f)}
dim
(
K
e
r
(
f
)
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))}
f
{\displaystyle f}
v
(
f
)
{\displaystyle v(f)}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
秩 和零化度 。
這個定理在抽象代數的推廣是同構定理 。
多重線性映射 是線性映射最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數 和張量分析 的數學基礎。其特例為雙線性映射 。
^ 見Lax 2010 ，第7頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFLax2010 (help ) (位於第2章“線性映射”第1節“線性映射生成的代數”)。
^ 見Axler 2009 ，第41頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 見Axler 2009 ，第59頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”末尾習題旁的說明)。
^ 見龔昇《線性代數五講》第1講第10頁。
^ 見Axler 2009 ，第38頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 李尚志. 第6章“線性變換”第4節“線性變換”. 線性代數 第1版. 高等教育出版社 . 2006: 326. ISBN 7-04-019870-3則V到自身的線性映射稱為V的線性變換(linear transformation)。 ^ А·Н·柯爾莫哥洛夫 ，佛明(С. В. Фомин). 第4章“線性泛函與線性算子”第5節“線性算子”. Элементы теории функций и функционального анализа [函數論與泛函分析初步]. 俄羅斯數學教材選譯. 段虞榮 (翻譯)，鄭洪深 (翻譯)，郭思旭 (翻譯) 原書第7版，中譯本第2版. 高等教育出版社. 2006年: 162. ISBN 7-04-018407-9 ^ 見Lax 2010 ，第131頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFLax2010 (help ) (位於第15章“有界線性映射”的開頭部分)。原文為“線性映射也稱為線性算子或線性變換”。
^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 見Axler 2009 ，第38-39頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 見Artin 2010 ，第156頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFArtin2010 (help ) 。(位於第6章“Symmetry”第1節“
Symmetry of the Plane Figures”)
^ Walter Rudin . 第1章“Topological Vector Spaces”中的“Linear mappings”一節. Functional Analysis [泛函分析] . Higher mathematics series. McGraw-Hill Book Company . 1973: 13 . ^ 見Axler 2009 ，第51頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第3節“線性映射的矩陣”)。
^ 見Axler 2009 ，第82頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第5章“本征值與本征向量”第3節“上三角矩陣”)。
^ 其證明只需要用到三角函數 的基礎知識，在網上很容易找到證明過程。也可參見Feynman harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFeynman (help ) 第11章“Vectors”第3節“Rotations”。
設
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
體 為
K
{\displaystyle K}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\to W}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
映射 。如果
f
{\displaystyle f}
維持向量加法 ——對於任意兩個
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
維持純量乘法 ——對於任何
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
f
(
a
⋅
x
)
=
a
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle f(a\cdot x)=a\cdot f(x)}
則稱
f
{\displaystyle f}
K
{\displaystyle K}
-線性映射 。在係數體不致混淆的情況下也經常簡稱線性映射。
這等價於要求
f
{\displaystyle f}
x
1
,
…
,
x
m
∈
V
{\displaystyle x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\in V}
a
1
,
…
,
a
m
∈
K
{\displaystyle a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\in K}
f
(
a
1
⋅
x
1
+
⋯
+
a
m
⋅
x
m
)
=
a
1
⋅
f
(
x
1
)
+
⋯
+
a
m
⋅
f
(
x
m
)
{\displaystyle f(a_{1}\cdot x_{1}+\cdots +a_{m}\cdot x_{m})=a_{1}\cdot f(x_{1})+\cdots +a_{m}\cdot f(x_{m})}
任何的體
K
{\displaystyle K}
體 同樣為
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
線性泛函 泛函分析 最成熟的分支。
線性映射中的「線性」與「函數圖形是直線」沒有任何關聯。 定義域和對應域相同的線性映射可以進行函數合成，合成的結果依然會是線性映射。但是如果改變合成的順序，那合成出來的結果通常不會相同。例如「把函數乘上
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
[ 1] 維持向量加法的映射可能不維持純量乘法；同樣地，維持純量乘法的映射也可能不維持向量加法。[ 2]
線性變換 和線性算子 這兩個名詞，與本條目的線性映射 密切相關，但不同作者有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如
f
:
V
→
V
{\displaystyle f:V\rightarrow V}
特殊線性映射 ，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。
比如Axler 和龔昇 就稱這種特殊線性映射為線性算子 [ 3] [ 4] 線性映射 和線性變換 視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性映射稱為線性變換 [ 5] 泛函分析 的書籍一般將三者都視為本條目所定義的「線性映射 」，其他細節以函數的符號傳達[ 6] [ 7]
本條目採用泛函分析的習慣。
對於實數，映射
x
↦
x
2
{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
如果
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
矩陣 ，則
A
{\displaystyle A}
R
n
{\displaystyle R^{n}}
R
m
{\displaystyle R^{m}}
列向量
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in R^{n}}
A
x
∈
R
m
{\displaystyle Ax\in R^{m}}
積分 生成從在某個區間 上所有可積分實函數的空間到
R
{\displaystyle R}
[ 8] 微分 是從所有可微分函數的空間到所有函數的空間的線性映射。[ 8] “給函數乘上
x
2
{\displaystyle x^{2}}
[ 8]
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
後向移位（backward shift）運算是一種線性映射。即把無窮維向量
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)}
T
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
=
(
x
2
,
x
3
,
x
4
,
.
.
.
)
{\displaystyle \operatorname {T} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)=(x_{2},x_{3},x_{4},...)}
[ 8] 如果
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
F
{\displaystyle F}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
dim
F
(
W
)
×
dim
F
(
V
)
{\displaystyle \dim _{F}(W)\times \dim _{F}(V)}
[ 8] 一次函數
y
=
f
(
x
)
=
x
+
b
{\displaystyle y=f(x)=x+b}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
這里所說的線性不是指函數圖像為直線 。）同理，平移變換一般也不是線性變換（平移距離為零時才是線性變換）。[ 9] [ 10]
若
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
維 的、有相同的 係數體
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
矩陣 表示。
假設
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
B
V
=
{
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}}
B
W
=
{
β
1
,
β
2
,
…
,
β
m
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}}
分別是
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
基底 。
根據基底
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
α
i
∈
B
V
{\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
t
1
i
,
t
2
i
,
…
,
t
m
i
∈
K
{\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
T
(
α
i
)
=
∑
j
=
1
m
t
j
i
⋅
β
j
=
t
1
i
⋅
β
1
+
t
2
i
⋅
β
2
+
⋯
+
t
m
i
⋅
β
m
{\displaystyle T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}}
直觀上，純量
t
1
i
,
t
2
i
,
…
,
t
m
i
∈
K
{\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
α
i
∈
B
V
{\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
T
(
α
i
)
∈
W
{\displaystyle T(\alpha _{i})\in W}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
現在任取一個
V
{\displaystyle V}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
B
V
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
K
{\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K}
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
⋅
α
i
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}}
這樣根據求和符號 的性質，可以得到
T
(
v
)
=
∑
i
=
1
n
v
i
⋅
(
∑
j
=
1
m
t
j
i
⋅
β
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
(
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
=
∑
j
=
1
m
∑
i
=
1
n
(
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
=
∑
j
=
1
m
(
∑
i
=
1
n
t
j
i
v
i
)
⋅
β
j
{\displaystyle T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}}
然後考慮到
T
(
v
)
∈
W
{\displaystyle T(v)\in W}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
m
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K}
T
(
v
)
=
∑
j
=
1
m
λ
j
⋅
β
j
{\displaystyle T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}}
因為這樣的純量
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
M
∈
K
{\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K}
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,\,2,\,\ldots ,\,m}
λ
j
=
∑
i
=
1
n
t
j
i
v
i
{\displaystyle \lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}}
考慮到矩陣乘法 的定義，上式可以改寫為
[
λ
1
λ
2
⋮
λ
m
]
=
[
t
11
t
12
…
t
1
n
t
21
t
22
…
t
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
t
m
1
t
m
2
…
t
m
n
]
[
v
1
v
2
⋮
v
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}
也就是說，只要知道
T
(
α
i
)
{\displaystyle T(\alpha _{i})}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
t
j
i
{\displaystyle t_{ji}}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
T
(
v
)
{\displaystyle T(v)}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
行向量
v
=
[
v
i
]
n
×
1
{\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
T
(
α
i
)
{\displaystyle T(\alpha _{i})}
行 （column ）擺放所構成的。
由上面的推導可以知道，不同的基底
B
V
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
T
=
[
t
j
i
]
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
不同 ，為了強調這點，也會將矩陣
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
T
=
[
T
]
B
W
B
V
{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}
來強調這種關聯性。
若
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
V
{\displaystyle V}
B
V
=
B
W
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}}
T
=
[
T
]
B
V
{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}
若有由
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
=
[
a
i
j
]
m
×
n
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}
f
:
K
n
×
1
→
K
m
×
1
{\displaystyle f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}}
f
(
x
)
=
A
x
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }
其中
x
=
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
∈
K
n
×
1
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}}
因為矩陣乘法 只有唯一的結果，上面的定義的確符合函數 定義的基本要求。然後考慮
K
n
×
1
{\displaystyle K^{n\times 1}}
K
m
×
1
{\displaystyle K^{m\times 1}}
同個 純量體
K
{\displaystyle K}
向量空間 ，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數
f
{\displaystyle f}
根据积 和余积 的泛性质，我们有
H
o
m
(
⨁
i
∈
I
U
i
,
∏
j
∈
J
V
j
)
≃
∏
i
∈
I
∏
j
∈
J
H
o
m
(
U
i
,
V
j
)
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} \left(\bigoplus _{i\in I}U_{i},\prod _{j\in J}V_{j}\right)\simeq \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\mathrm {Hom} \left(U_{i},V_{j}\right).}
在
K
{\displaystyle K}
线性空间 构成的范畴 中，有限个线性空间的余积和积是一回事。对于
U
,
V
{\displaystyle U,V}
b
1
,
…
,
b
n
,
b
1
′
,
…
,
b
m
′
{\displaystyle {\mathbf {b}}_{1},\dots ,{\mathbf {b}}_{n},{\mathbf {b}}'_{1},\dots ,{\mathbf {b}}'_{m}}
U
i
=
b
i
K
,
V
i
=
b
i
′
k
{\displaystyle U_{i}={\mathbf {b}}_{i}K,V_{i}={\mathbf {b}}'_{i}k}
H
o
m
(
U
i
,
V
j
)
≃
K
{\displaystyle \mathrm {Hom} (U_{i},V_{j})\simeq K}
把線性映射寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和覆合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。[ 11] 分塊 計算，可以通過適當的變換以“解耦”（把覆雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩 ，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
遇到
y
=
x
+
3
{\displaystyle y=x+3}
計算機圖形學 和剛體理論（及其相關機械制造 和機器人學 ）中都有大量應用。
對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化 （不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的準對角矩陣 ），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變量 ）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
n
{\displaystyle A^{n}}
遞推數列 通項公式 的線性代數求解法和馬爾可夫鏈 的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個0的條件[ 12]
二維空間
R
2
{\displaystyle R^{2}}
逆時針旋轉 90度：
A
=
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
逆時針旋轉
θ
{\displaystyle \theta }
[ 13]
A
=
[
cos
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}
針對y 軸反射 ：
A
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
在所有方向上放大 2倍：
A
=
[
2
0
0
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}}
水平錯切 ：
A
=
[
1
m
0
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}
擠壓 ：
A
=
[
k
0
0
1
/
k
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}}
向y 軸投影 ：
A
=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
兩個線性映射的覆合映射 是線性的：如果
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
g
:
W
→
Z
{\displaystyle g:W\rightarrow Z}
g
∘
f
:
V
→
Z
{\displaystyle g\circ f:V\rightarrow Z}
若線性映射可逆 ，則該線性映射的逆 也是線性映射。
如果
f
1
:
V
→
W
{\displaystyle f_{1}:V\rightarrow W}
f
2
:
V
→
W
{\displaystyle f_{2}:V\rightarrow W}
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
(
f
1
+
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
{\displaystyle \left(f_{1}+f_{2}\right)\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right)}
如果
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
a 是基礎體K 的一個元素，則定義自 (af )(x ) = a (f (x ))的映射af 也是線性的。
所以從
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle L\left(V,W\right)}
K
{\displaystyle K}
H
o
m
(
V
,
W
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} \left(V,W\right)}
V
=
W
{\displaystyle V=W}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
映射覆合 下的結合代數 ，因為兩個線性映射的覆合再次是線性映射，所以映射的覆合總是結合律的。
給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性映射的覆合對應於矩陣乘法 ，線性映射的加法對應於矩陣加法 ，而線性映射與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。
自同態的線性映射在泛函分析和量子力學 中都有很重要的地位。按前文約定，我們用“線性算子”來簡稱它。（注意泛函分析中所說的“線性算子”不一定是自同態 (endomorphism)映射，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用“線性算子”來稱呼這種自同態。）
自同態 是一個數學對象 到它本身的保持結構的映射（同態 ），例如群
G
{\displaystyle G}
群同態
f
:
G
→
G
{\displaystyle f:G\to G}
V
{\displaystyle V}
f
:
V
→
V
{\displaystyle f:V\rightarrow V}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
結合代數 ，帶有在體
K
{\displaystyle K}
恒等映射
i
d
:
V
→
V
{\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}
若
V
{\displaystyle V}
同構 則稱之為自同構 。兩個自同構的覆合 再次是自同構，所以
V
{\displaystyle V}
群 ，
V
{\displaystyle V}
自同構群 可表為
A
u
t
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
G
L
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (V)}
A
u
t
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
可逆元群 。
如果
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)}
同構 於帶有在
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
結合代數 ，且
V
{\displaystyle V}
同構 於帶有在
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
一般線性群
G
L
(
n
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}
若尔当标准型 叙述了代数闭域
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
有理标准型 是将其推广到任意域上的方法。
對於一個線性映射
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
核 （ Kernel ）——送到零向量的那些向量：
K
e
r
(
f
)
:=
f
−
1
(
0
)
=
{
x
∈
V
∣
f
(
x
)
=
0
}
⊆
V
{\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(\mathbf {0} )=\{x\in V\mid f(x)=\mathbf {0} \}\subseteq V}
像 （ Image ）——把整個空間送過去後的結果：
I
m
(
f
)
:=
f
(
V
)
=
{
f
(
x
)
∈
W
∣
x
∈
V
}
⊆
W
{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(V)=\{f(x)\in W\mid x\in V\}\subseteq W}
那麼
Ker
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}
V
{\displaystyle V}
子空間 ，而
Im
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (f)}
W
{\displaystyle W}
秩-零化度定理 的維度公式經常是有用的：
dim
(
K
e
r
(
f
)
)
+
dim
(
I
m
(
f
)
)
=
dim
(
V
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\mathrm {Im} (f))=\dim(V)}
dim
(
I
m
(
f
)
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Im} (f))}
f
{\displaystyle f}
r
k
(
f
)
{\displaystyle \mathrm {rk} (f)}
ρ
(
f
)
{\displaystyle \rho (f)}
dim
(
K
e
r
(
f
)
)
{\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))}
f
{\displaystyle f}
v
(
f
)
{\displaystyle v(f)}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
秩 和零化度 。
這個定理在抽象代數的推廣是同構定理 。
多重線性映射 是線性映射最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數 和張量分析 的數學基礎。其特例為雙線性映射 。
^ 見Axler 2009 ，第41頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 見Axler 2009 ，第59頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”末尾習題旁的說明)。
^ 見龔昇《線性代數五講》第1講第10頁。
^ 見Axler 2009 ，第38頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 李尚志. 第6章“線性變換”第4節“線性變換”. 線性代數 第1版. 高等教育出版社 . 2006: 326. ISBN 7-04-019870-3則V到自身的線性映射稱為V的線性變換(linear transformation)。 ^ А·Н·柯爾莫哥洛夫 ，佛明(С. В. Фомин). 第4章“線性泛函與線性算子”第5節“線性算子”. Элементы теории функций и функционального анализа [函數論與泛函分析初步]. 俄羅斯數學教材選譯. 段虞榮 (翻譯)，鄭洪深 (翻譯)，郭思旭 (翻譯) 原書第7版，中譯本第2版. 高等教育出版社. 2006年: 162. ISBN 7-04-018407-9 ^ 見Lax 2010 ，第131頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFLax2010 (help ) (位於第15章“有界線性映射”的開頭部分)。原文為“線性映射也稱為線性算子或線性變換”。
^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 見Axler 2009 ，第38-39頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第1節“定義與例子”)。
^ 見Artin 2010 ，第156頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFArtin2010 (help ) 。(位於第6章“Symmetry”第1節“
Symmetry of the Plane Figures”)
^ Walter Rudin . 第1章“Topological Vector Spaces”中的“Linear mappings”一節. Functional Analysis [泛函分析] . Higher mathematics series. McGraw-Hill Book Company . 1973: 13 . ^ 見Axler 2009 ，第51頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第3章“線性映射”第3節“線性映射的矩陣”)。
^ 見Axler 2009 ，第82頁 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFAxler2009 (help ) (位於第5章“本征值與本征向量”第3節“上三角矩陣”)。
^ 其證明只需要用到三角函數 的基礎知識，在網上很容易找到證明過程。也可參見Feynman harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFeynman (help ) 第11章“Vectors”第3節“Rotations”。
![{\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab47ab1cfe0e625cbac380b72303a3cf5341769)
![{\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c243862439fd601bdac1762e63598ad57ef3135c)
![{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c2e3cbab9350c132edfd924ac5eb747bc39b82)
![{\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b8abb0e9d73aff454eb142eae020602b3aad57)
![{\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15e42b95288c26514ff078b4e946cff0245ae89)
![[icon]](/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
