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离散时间与连续时间

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数学动力学中,离散时间连续时间是对随时间变化的变量进行建模的两种可选框架。

离散时间

离散采样信号

离散时间将变量值看做是出现在不同的、独立的“时间点”上,或等同于在每个非零时间段内保持不变,即将时间看做离散变量。因此,从一个时间段移动到下一个时间段时,非时间变量从一个值跳到另一个值。这种框架下,每个相关变量在每个时间段取1次值,两时间段之间的测量次数有限,通常在时间变量的连续整数值上进行。

离散信号离散时间信号是由一系列数量组成的时间序列。不同于连续时间信号,其不是连续参数的函数,不过也可能是从连续时间信号中采样所得,间隔均匀的时长采样的话会有相关联的采样率

离散时间信号有多种来源,可以分为两类:[1]

  • 从常值或变值的模拟信号取值。此过程称作采样[2]
  • 观测离散时间过程,如某经济指标的周峰值。

连续时间

相对地,连续时间将变量看作只有在无穷短时间段内才有特定值。任意两时点间,又有无穷多时点。时间变量在整条实数线上取值,或在取决于具体应用的子集上取值,如非负实数。这时,时间被视作连续变量

连续信号连续时间信号是一种变化的量 (物理)信号),其定义域(通常是时间)是连续统(如实数连通区间)。即,函数的定义域是不可数集,而函数本身不必连续。相对地,离散时间信号具有可数定义域,如自然数

连续振幅、连续时间的信号常常称作模拟信号,在每一瞬间都有一定值。与温度、压力、声音等物理量成比例的电信号一般是连续信号。连续信号的其他例子有正弦波、余弦波、三角波等等。

信号的定义域可能是有限的也可能不是,定义域到信号值有一个泛函映射。时间变量的连续性与实数密度定律有关,意味着可在任意时间点找到信号值。无限信号的一个典型例子是

其对应的有限时长对应信号可以是

,否则

有限/无限时长信号值可能有限也可能无限,例如

,否则

这是有限时长信号,但在时的值是无限的。

很多学科中,约定俗成的做法是连续信号必须始终有限,这对物理信号来说更有意义。 某些情况下,只要信号在任意有限区间内可积,那么无穷奇点也可以接受(如信号在无穷大时不可积,但可积)。

任何模拟信号本质上都是连续的。用于数字信号处理离散时间信号可从连续信号采样量化得到。

连续信号也可用时间以外的自变量来定义,常见的如空间,在2维的图像处理中尤其有用。

相关背景

离散时间常用于實證度量情景,因为通常只能按顺序测量变量。例如,虽然经济活动实际上是持续进行的,不存在经济活动完全停顿的时刻,但只能对经济活动进行离散测量。因此,诸如国内生产总值之类数据只能离散地显示一系列季度值。

试图用其他变量和/或变量的先前值解释时,会使用时间序列回归分析方法,当中变量用下标表示观测时段。例如指在t时间段内观察到的收入是第三个时间段内观察到的收入。

此外,建立理论以解释离散时间内观察到的现象时,为便于建立时间序列或回归模型,通常用离散时间表示理论。

另一方面,连续时间理论模型往往在数学上更容易,而且物理学等领域中,精确的描述往往需要连续时间。当中,变量y在未指定时间点的值表为,含义明确则简单表为y

方程类型

离散时间

离散时间使用差分方程,或称为递推关系。例如逻辑斯谛映射或逻辑斯谛方程

当中r是范围在2到4的参数x是范围在0到1的变量,其在t时期的值非线性地影响t+1时期的值。例如,取,则对于t=1有,对于t=2有

另一个例子是根据产品的非零超额需求,调整价格P,模型为

其中是小于等于1的正调整速度参数,超额需求函数

连续时间

连续时间使用微分方程。例如,针对产品非零超额需求,调整价格P,可以用连续时间建模为

左式是价格对时间的一阶导数(即价格变化率),是调整速度参数,可以是任意有限正数,是超额需求函数。

图形描述

离散时间中测量的变量可绘制为阶跃函数,当中每个时间段在横轴上都有等长区域,测量变量在单个区域内保持不变,函数图像将是一系列水平阶梯。另一种方法是将时间段视作独立的时间点,通常是水平轴上的整数值,然后将测量变量绘为时间轴点上方的高度,函数图像将是一组点。 连续时间中测量的变量可绘制为连续函数,因为时间域一般认为是整个实数轴或至少是其上某些连通部分。

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参考文献

  1. ^ "Digital Signal Processing", Prentice Hall - pages 11–12
  2. ^ "Digital Signal Processing: Instant access", Butterworth-Heinemann - page 8
  • Wagner, Thomas Charles Gordon. Analytical transients. Wiley. 1959.