- 本条目中,向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,
或
。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,
表示
平方;而
是
的第二個分量。
波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量,其大小表示波数(
),其方向表示波传播的方向。
波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。
定义
正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到,这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点。
当波行进时,给定点的值以正弦作正弦振动。
波矢有两种常见的定义,区别在於振幅因子是否乘以
,两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。[1]
物理学定义
理想的一维行波遵循如下方程:

其中:
- x为位置;
- t为时间;
(x和t的函数)是对波进行描述的扰动(例如对於海浪,
是超出水面的高度;对於声波,
是超气压);
- A是波的振幅(振动的峰值);
是相位偏移,描述了两个波互相之间不同步的程度;
是波的角频率,描述了在一个给定点波振动的快慢程度;
是波数,与波长成反比,由
求出。
此波在+x方向上行进,相速度为
。
推广到三维情况下,方程为:

其中:
- r是三维空间中的位置矢量;
是矢量点积;
- k是波矢。
这一方程描述了平面波。一维情况下,波矢的大小是角波数
。波矢的方向是平面波行进的方向。
晶体学定义
在晶体学中,描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为:

。
不同点在於:
- 晶体学定义使用了频率
,而不是角频率
,由公式
,二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
- 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的
,而在物理学定义中,
。
狭义相对论
接近单色光的波包可以由波矢

准确描述,若明确的改写成共變和反變形式,则
且
。
於是波矢的大小为

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

洛伦兹变换
对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为
。
在光被快速移动的波源激发的情况下,若要在地球坐标系(实验室坐标系)中检定光的频率,就要使用洛伦兹变换,如下所示。注意波源位於坐标系S s,地球位於观测系S obs。
对波矢进行洛伦兹变换得到
。
只考虑
分量的情况,得到
。
因此
|
波源远离观测者
当波源径直地远离观测者时,
,方程变为:
。
波源接近观测者
当波源径直地接近观测者时,
,方程变为:
。
参考文献
- Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.