本原元定理

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为 $F(\alpha )$ 的形式，即E可以由单个元素生成。

定理

一个有限扩张E/F有本原元，即存在 $\alpha$ 使得 $E=F(\alpha )$ ，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明

如果 $F$ 是有限域，由于 $E/F$ 是有限扩张，推得 $E$ 也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元， $E$ 可以由这个生成元生成。所以在 $F$ 是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果 $F$ 是无限域，但是只有有限个中间域。先证明一个引理：假设 $E=F(\alpha ,\beta )$ 并且 $E$ 和 $F$ 之间只有有限个中间域，那么存在一个 $\gamma \in E$ 使得 $E=F(\gamma )$ 。引理的证明如下：当 $c$ 取遍 $F$ 的时候，对于每一个 $c$ 可以做一个中间域 $F(\alpha +c\beta )$ 。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在 $c_{1},c_{2}\in F,c_{1}\neq c_{2}$ 使得 $F(\alpha +c_{1}\beta )=F(\alpha +c_{2}\beta )$ 。由于 $\alpha +c_{1}\beta ,\alpha +c_{2}\beta$ 都在这个域里，推得 $(c_{1}-c_{2})\beta$ 也在这个域里。由于 $c_{1}\neq c_{2}$ ，推得 $\beta$ 在这个域里，于是 $\alpha$ 也在这个域里，因此 $E=F(\alpha ,\beta )\subseteq F(\alpha +c_{1}\beta )\subseteq F(\alpha ,\beta )$ ，于是 $E=F(\alpha +c_{1}\beta )$ 。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得 $E=F(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ （对于 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in E$ ）。利用归纳法以及引理可以得出，如果 $E/F$ 之间只有有限个中间域，那么 $E$ 可以由单个元素生成。

而如果 $E=F(\alpha )$ ，假设 $f(x)=irr(\alpha ,F,x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式， $K$ 是任意一个中间域， $g_{K}(x)=irr(\alpha ,K,x)$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式。显然 $g_{K}(x)|f(x)$ 。由于域上的多项式环是唯一分解环， $f(x)$ 只有有限个因子。而对于每一个 $g_{K}(x)|f(x)$ ，如果 $g_{K}(x)$ 写作 $g_{K}(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{i}x^{i}$ ，并令 $K_{0}=F(c_{1},c_{2},...,c_{n})$ 。显然 $K_{0}$ 是 $K$ 的一个子域，因此 $g_{K}(x)$ 在 $K_{0}$ 上依然是不可约的。而同时 $E=F(\alpha )=K(\alpha )=K_{0}(\alpha )$ ，因此可以得到 $[E:K]=[E:K_{0}]=deg(g_{K})=n$ 。这样立即推 $K_{0}=K$ ，于是任何一个中间域 $K$ 对应唯一的一个 $f(x)$ 的因子 $g_{K}$ 。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。