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改進型韋格納分佈

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改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function),用於時頻分析的一種方法,屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。
韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學,但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析,雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性,但當有兩個以上的信號成分時,韋格納分佈就會出現相交項問題,這在應用上造成很大的困擾。
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈,以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

原理

韋格納分佈的數學定義

改進型韋格納分佈的數學定義

為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題,改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數,將相交項過濾掉。

    • 定義一::
,其中w(t)為遮罩函數. 常為方波,其方波寬度為參數B。可寫成
    • 定義二::
      , 其中 ;  類似遮罩函數,
, 當θ很小
, 當θ很大
適當地選擇的範圍。若選的範圍太小,將會破壞原本的項(auto term)。
  • 定義三:
增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)
  • 定義四:
當 q = 2 和 ,就是原本的韋格納分佈。
當指數函數的次項不超過 q/2 +1時,就可以避免相交項(cross-term)
然而,相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間,無法完全被移除。
<說明>
定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)
If
所以 必須要能滿足下面的式子:
其中 的瞬時頻率
接下來,我們來看 要怎麼設定:
(1) 當 的時候:
如果我們把 代入,可以得到下列式子:
由此可以知道,當 並且 時,多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同
(2) 當 的時候:
如果我們把 代入,可以得到下列式子:
所以我們可以得到
可以看到如果 太大, 會不好設計。

性能表現

在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。

左圖是韋格納分佈;右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出,改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題,相對地增加清晰度。

左圖是韋格納分佈;右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出,改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題,同時增加清晰度。

同時參閱

參考資料

  • Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
  • L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.