拉梅函数

Lame function Maple animation plot

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:

雅可比形式

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0$+ 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的$2pK+(2q+1)*iK'$ 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为$k'={\sqrt {1-k^{2}}}$的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 $0<k<1$,

代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换$s=sn^{2}(z,k)$得拉梅方程的代数形式：

${\frac {d^{2}\Lambda }{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}*({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{s-h}})*{\frac {d\Lambda }{ds}}-{\frac {n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}}*\Lambda =0$

$h=k^{-2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$,

$H=hA$

$h>1$ 此傅克型方程有四个正则奇点$0,1,h,\infty$

魏尔斯特拉斯形式

${\frac {d^{2}\Lambda }{dz^{2}}}+[H-n(n+1)\wp (z)]\Lambda =0$

其中$\wp$是魏尔斯特拉斯函数

三角函数形式

在雅可比形式的拉梅方程中做代换 $snz=cos\zeta$

$\zeta ={\frac {1}{2}}\pi -amz$

可得

$[1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}$$+k^{2}cos\zeta \sin \zeta {\frac {d\Lambda }{d\zeta }}+[h-n(n+1)(kcos\zeta )^{2}]\Lambda =0$

在上列方程组 $h,k,n$等是实数或复数常数，而各变量为复数。

拉梅方程的本征值

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。

本征值 h	奇偶	周期
$a_{v}^{2m}(k^{2})$	偶	2K
$a_{v}^{2m+1}(k^{2})$	奇	4K
$b_{v}^{2m}(k^{2})$	偶	4K
$b_{v}^{2m+1}(k^{2})$	奇	2K

拉梅函数

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：

本征值 h	奇偶	周期	本征函数(拉梅函数)
$a_{v}^{2m}(k^{2})$	偶	2K	$Ec_{v}^{2m}(z,k^{2})$
$a_{v}^{2m+1}(k^{2})$	奇	4K	$Ec_{v}^{2m+1}(z,k^{2})$
$b_{v}^{2m}(k^{2})$	偶	4K	$Es_{v}^{2m+1}(z,k^{2})$
$b_{v}^{2m+1}(k^{2})$	奇	2K	$Es_{v}^{2m+2}(z,k^{2})$

其中$2m,2m+1,2m+2$代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例

Heun方程 $gh:={\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+({\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}})*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(\alpha *\beta *z-q)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0$

令=$\gamma =1/2,\delta =1/2,\epsilon =1/2,q=-(1/4)*a*h,\alpha =1/4,\beta =-v(v+1)$

则化为拉梅方程

${\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+(1/2*(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(1/4)*(a*h-\nu *(\nu +1)*z)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0$

拉梅方程的Heun函数解

由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示 $y(z)=_{C}1*HeunG(a,-(1/4)*a*h,-(1/2)*\nu ,(1/2)*\nu +1/2,1/2,1/2,z)$

$+_{C}2*{\sqrt {(}}z)*HeunG(a,1/4+(1/4*(-h+1))*a,1+(1/2)*\nu ,1/2-(1/2)*\nu ,3/2,1/2,z)$ 其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开

拉梅函数可以展开成幂级数形式

$y(z)=\sum _{v=0}^{\infty }a_{v}*z^{\rho +v}$

其中$\rho$只能取$0,1/2$

例子

$y(z)={1.2+2.3*{\sqrt {(}}z)-.600*h*z-(.383*(a*h-1.*a-1.))*z^{(}3/2)/a+(0.500e-1*(-4.*a*h-4.*h+a*h^{2}+2.*\nu ^{2}+2.*\nu ))*z^{2}/a+(0.192e-1*(-10.*a^{2}*h+9.*a^{2}+6.*a-10.*a*h+9.+a^{2}*h^{2}+6.*\nu *a+6.*\nu ^{2}*a))*z^{(}5/2)/a^{2}+O(z^{3})}$

参考文献

• 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
• Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press
• Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III