恆等函數
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恆等函數(英語:Identity function)是数学中对于傳回和其輸入值相同的函數的称呼。換句話說,恆等函數為函數。
各種函數 |
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x ↦ f (x) |
不同定義域和陪域 |
函數類/性質 |
構造 |
推廣 |
定義
設M為一集合,於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數,其對任一M內的元素x,會有的關係。
於M上的恆等函數f通常標記為或。
代數性質
設f : M → N為任一函數,則會有f o idM = f = idN o f(其中"o"為函數複合)。特別地是,idM會是所有由M至M的函數所組成之幺半群的單位元。
因為幺半群的單位元是唯一的,也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念,其中M的自同態並不必然是函數。
例子
- 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
- 在任意一个 n 維向量空間內,恆等函數表示成單位矩陣In,不論其基為何。
- 在任意一个度量空間,恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群,即只包含這個恆等函數的平凡群C1。