弱*拓撲

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義

在域 $\mathbb {K}$ （ $\mathbb {K}$ 是 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ）上的賦範空間 $E$ 中，每一個元素 $x$ ，都可以定義對偶空間 $E^{*}$ 上的一個線性算子 ${\hat {x}}(f):=f(x)$ 。弱*拓撲是在 $E^{*}$ 上最弱的拓撲，使得所有這樣的 ${\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K}$ 都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在 $E^{*}$ 上給出它的鄰域基：對任何 $f\in E^{*}$ ，集合

U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}

其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$ ， $\epsilon >0$ ，是 $f$ 的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列 $(f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ 在弱*拓撲中收斂，如果對任何 $x\in E$ 都有 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ ，即 $f_{n}$ 逐點收斂到 $f$ 。弱*收斂記作 $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ 。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果 $\|f-f_{n}\|\to 0$ ，其中 $\|\cdot \|$ 是 $E^{*}$ 的範數，則 $f_{n}$ 必然逐點收斂於 $f$ ，因而有 $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ ；但是， $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ 不一定有 $\|f-f_{n}\|\to 0$ ，甚至可能 $\|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|$ 。