廣義相對論的替代理論

廣義相對論的替代理論是與愛因斯坦廣義相對論競爭，嘗試要描述重力現象的物理理論。

對於建構一個理想重力理論，至今已有許多不同的嘗試。這些嘗試可以分為下面四個大類：

與廣義相對論直接競爭的理論，例如嘉當理論以及布蘭斯-狄克理論等等。
嘗試建構量子化的重力理論，例如迴圈量子重力理論。
嘗試統一重力與其他基本力，例如卡魯扎-克萊因理論。
嘗試將所有目標畢其功於一役，例如M理論。

本文談論對象僅包括與廣義相對論的直接競爭理論。關於量子化重力理論課題，參見量子重力。重力與其他基本力的統一理論課題，參見古典統一場論。試圖將所有目標畢其功於一役的理論，請見萬有理論。

動機

建立新的重力理論的動機隨著年代不同，最早先的動機是要解釋行星軌道（牛頓重力）以及更複雜的軌道（例如：拉格朗日）。再來登場的是不成功的嘗試——要合併重力與波理論或微粒(corpuscular)理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現，物理學的樣貌徹底改變，而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時，實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎——勞侖茲不變性、重力造成的光線偏折、Eötvös實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

本文中的符號標記

$c\;$ 為光速， $G\;$ 為重力常數。幾何變數(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指標取值從1到3，希臘字母指標取值從0到3。採用愛因斯坦取和原則。

$\eta _{\mu \nu }\;$ 為閔可夫斯基度規。 $g_{\mu \nu }\;$ 為一張量，通常是度規張量。其有標記(signature) $(-,+,+,+)$ 。

協變微分(Covariant differentiation)寫為 $\nabla _{\mu }\phi \;$ 或 $\phi _{;\mu }\;$ 。

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

理論分類

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有：

一作用量（參見最小作用量原理，其為一基於作用量觀念的變分原理）
一拉格朗日密度
一度規

若一理論具有一拉格朗日密度，寫作 $L\,$ ，則作用量 $S\,$ 則是此項的積分，例如： $S\,\propto \,\int d^{4}xR{\sqrt {-g}}L\,$

其中 $R\,$ 是空間的曲率。在此方程式中，通常會有 $g=-1\,$ 的情形，但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立；儘管如此，要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983年原始版本的MOND並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德(1922年)的理論，此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論(metric theory)僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述：

條件1. 存在一度規張量 $g_{\mu \nu }\,$ ，標記為1，而此度規掌控了原長(proper-length)與原時(proper-time)測量，一如在狹義與廣義相對論：

ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,

此式中對指標 $\mu$ 與 $\nu$ 進行取和。

條件2. 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應：

\nabla \cdot T=0\,

其中 $T\,$ 為應力-能量張量，針對所有物質以及非重力的場，而 $\nabla$ 為隨度規所做的協變導數(covariant derivative)]。

任何重力理論若 $g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu }$ 永遠成立，則其非度規理論，但任何度規理論可以給予違背條件1與2的數學描述。

度規理論包括（從簡單至複雜）：

純量場理論（包括共形平直理論(Conformally flat theories)，以及具有共形平直空間切面(Conformally flat space slices)的層狀理論(Stratified theories)）

諾德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦（1912年）、Whitrow-Morduch、羅森(Rosen)（1971年）、Papapetrou、倪維斗(Ni)、Yilmaz、[Coleman]、李-萊特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

雙度規理論

羅森（1975年）、Rastall、萊特曼-李(Lightman-Lee)

類線性理論（包括線性固定規範(Linear fixed gauge)）

懷海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

張量理論

愛因斯坦廣義相對論

純量-張量理論
向量-張量理論
其他度規理論

（參見後文1980年代至今的現代理論）

非度規理論，則包括嘉當(Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理，在這裡做一些陳述是洽當的，因為其中一些理論根據的是馬赫原理，例如懷海德（1922年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協(half-way-house)。可以做如此描述^[1]：

牛頓：絕對空間與時間。
馬赫：參考系源自於宇宙中物質的分布。
愛因斯坦：沒有絕對的參考系。

目前為止，所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的，但其可能性尚未被完全排除。

早期理論（1686年至1916年）

早期重力理論——指的是廣義相對論之前的理論——包括有牛頓（1686年）、愛因斯坦（1912年a & b）、愛因斯坦與格羅斯曼(Grossmann)（1913年）、諾德斯特洛姆(Nordström)（1912年、 1913年）以及愛因斯坦與佛克(Fokker)（1914年）。

在牛頓（1686年）理論中（以更近代的數學重寫），質量密度 $\rho \,$ 產生了一個純量場 $\phi \,$ ：

{\partial ^{2}\phi  \over \partial x^{j}\partial x^{j}}=4\pi \rho \,

。

利用倒三角算符(Nabla operator) $\nabla$ ，可以很方面地寫成：

\nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \,

。

而純量場掌控了自由下落粒子的運動：

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \phi  \over \partial x^{j}\,}=0\,

。

其中純量場為 $\phi =GM/r\,$ 。

廣義相對論替代理論的測試

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為（參見Will 2001）：

基本生存力(Basic Viability)
愛因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
參數化後牛頓形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
強場重力(Strong Gravity)
重力波(Gravitational Waves)

理論測試結果

一些理論的PPN參數實測值

（細節參見威爾(Will)（1981年）與倪維斗(Ni)（1972年）。米斯納(Misner)等人（1973年）製表將倪氏參數記號轉換成威爾的版本。）

廣義相對論至今已經超過90歲，而不斷繼起的重力替代理論卻無法與更精確的觀測結果相一致。更細節的描述請見參數化後牛頓形式(Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列舉了為數眾多的理論之PPN值。如果格中的值跟行頂格子的值相同，則表示完整的式子太複雜而無法列在此處；例如：行頂格子為β參數，而Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）的格子值也是β。

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{3}$	$\zeta _{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
愛因斯坦（1916年）廣義相對論	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
純量-張量理論
Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
NordtVedt（1970年）, Bekenstein（1977年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
布蘭斯-狄克（1961年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
向量-張量理論
Hellings-Nordtvedt（1973年）	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Will-Nordtvedt（1972年）	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
雙度規理論
Rosen（1975年）	1	1	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Rastall（1979年）	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
萊特曼-李（1973年）	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
層狀理論
李-萊特曼-倪（1974年）	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
倪維斗（1973年）	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
純量場論
愛因斯坦（1912年）{非廣義相對論}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Whitrow-Morduch（1965年）	0	-1		-4	0	0	0	-3	0	0†
羅森（1971年）	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	-4	0	-1	0	0
Papetrou (1954年a, 1954年b)	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
倪維斗（1972年）（層狀）	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Yilmaz（1958年、1962年）	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Page-Tupper（1968年）	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{4}$
諾德斯特洛姆（1912年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0†
諾德斯特洛姆（1913年）、愛因斯坦-佛克（1914年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0
倪維斗(Ni)（1972年）（平直）	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Whitrow-Morduch（1960年）	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood（1953年）、Bergman（1956年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	-1	0	0†

† 此理論不完備，且 $\zeta _{4}$ 可以是兩值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有實驗測試與廣義相對論相符，因此PPN分析立即刪除了表中所有的純量場論。

此處未有針對懷海德（1922年）、Deser-Laurent（1968年）、Bollini-Giamiago-Tiomino（1970年）三者的完整PPN參數列表。但在這些三個情形中 $\beta =\gamma$ ，這與廣義相對論的情形以及實驗結果嚴重違背。特別的是，這些理論預測的地球潮汐振幅是不正確的值。

腳註

^ 這並非馬赫原先陳述的方式，參見馬赫原理的其他變型

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[Mach-1] 這並非馬赫原先陳述的方式，參見馬赫原理的其他變型

[1]

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