平滑濾波器（英語：Smoother）是增加低頻的空間域濾波技術。空間域濾波技術即不經由傅立葉轉換，直接處理影像中的像素，主要用於模糊化和去除雜訊。平滑濾波器的輸出是濾波器遮罩的鄰域所含像素的平均，遮罩越大平滑的效果越好，然而若遮罩過大平滑效果會使邊緣的信息失真越嚴重，使输出的圖像過度模糊，因此需合理選擇遮罩的大小。
實現
簡易型平滑濾波器
最簡易型的平滑濾波器可表示為下式
![{\displaystyle y[n]={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =n-L}^{n+L}x[\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d70789aa219c07a3f0fd4fa49850b147b7e8e74)
可改寫為
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9151e7a5bd07493b61827b52aefd550b3acc5414)
h[n]如下圖所示
 簡易型平滑濾波器的脈衝響應h[n]
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![{\displaystyle y[n]=\sum _{\tau }x[n-\tau ]h[\tau ]=\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]{1 \over 2L+1}={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe9485f2122f08e7a32cfd6a27aea1ed4dbf69a)
![{\displaystyle y[n-1]={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =n-1-L}^{n-1+L}x[\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff666061ce159ec4665cbcf321aac850754c5ee5)
則可以把y[n]改寫為遞迴形式
![{\displaystyle y[n]=y[n-1]+{1 \over 2L+1}(x[n+L]-x[n-1-L])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4408d69ca0da52587ed852ca6861f63932ccc6b0)
一般型態平滑濾波器
一般型態平滑濾波器可表示成下列式子
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{\tau =n-L}x[n-\tau ]h[\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6e0fb95f053d448b44f7cac08615fe28c8fa28)
而h[n]需符合下列條件
![{\displaystyle {\begin{cases}\ 1.h[n]=h[-n]\\\ 2.|h[n_{1}]|\leq |h[n_{2}]|&|n_{1}|>|n_{2}|\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5583084bda85c29804e760e260697457efc943c5)
任何隨著｜n｜遞減的偶函數都可以當成平滑濾波器
 一般型平滑濾波器的脈衝響應範例h[n]
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應用
平滑濾波器多用來模糊化、去除雜訊，找出信號長期趨勢。
下列為平滑濾波器簡單的範例
% matlab code %
y =[0:0.1:5]'; %產生信號
y = y+ 0.15.*randn(length(y), 1); %信號加上雜訊
y2 = smooth(y'); %使用平滑濾波器去信號雜訊
subplot(2,1,1),plot(b,y);
title('x[n]');
subplot(2,1,2),plot(b,y2);
title('x[n] after smoother');
模擬結果
 一般型平滑濾波器的脈衝響應範例h[n]
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參考書目、資料來源
- Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
