對勾函数

在数学中，对勾函数，又名双勾函数、耐克函数、对号函数，表示形为$f(x)=ax+{\frac {b}{x}}$的函数，其中$ab\geq 0$。函数定义域为$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，值域为$(-\infty ,-2{\sqrt {ab}}]\cup [2{\sqrt {ab}},\infty )$。其图像是分别以$y$轴和$y=ax$为渐近线的两支双曲线。当$a\geq 0,b\geq 0$时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

图像

以下是對勾函数$f(x)=x+{\frac {1}{x}}$的图像

函数单调性

• a、b同正，在$\left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$单调递增，在$\left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)$单调递减，在$\left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$单调递减，在$\left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)$单调递增。
• a、b同负，在$\left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$单调递减，在$\left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)$单调递增，在$\left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$单调递增，在$\left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)$单调递减。

函数单调性的证明

对$f(x)=x+{\frac {a}{x}}(a>0)$，任取$0<x_{1}<x_{2}\leq {\sqrt {a}}$，则有${\begin{cases}x_{1}-x_{2}<0\\x_{1}\cdot x_{2}>0\\0<x_{1}\cdot x_{2}<a\\\end{cases}}$
$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}-x_{2}-{\frac {a}{x_{2}}}={\frac {(x_{1}-x_{2})(x_{1}{\cdot }x_{2}-a)}{x_{1}{\cdot }x_{2}}}>0$，即$f(x_{1})>f(x_{2})$
$\therefore f(x)$在$(0,{\sqrt {a}}]$上单调递减。同理，$f(x)$在$[{\sqrt {a}},+\infty )$上单调递增；在$(-\infty ,-{\sqrt {a}}]$上单调递增；在$\left[-{\sqrt {a}},0\right)$上单调递减。