对位证明法[1](英語:proof by contrapositive,又或者proof by negation),或称否定证明法、逆否命题法[2],是逻辑數學的其中一個證明方法。其与反证法相似,但是是不同的概念。根據邏輯,「」等於「」,即取其逆否命题。[3]
需要注意,对位证明法与反证法不同。
定義
给予给予初始实质条件命题“若P,则Q”:,对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q,则非P”:的真值。
逻辑上,对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明,即证明和的真值完全一样:
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例子
- 「我的妈妈是女人。」需要证明的逆否命题是「不是女人就不是我的妈妈。」
- 「若是单数,则是双数。」需要证明的逆否命题是「若不是双数,则不是单数。」
反證法与对立證明的分別
反證法:假設 正确,,發現 不对,於是證明 正确。
否定證明:證明 正确,於是转换證明 正确。
證明例子
證明「假設 是雙數,则 都會是雙數。」
證明:
逆否命题:「假設 不是雙數,则 也不是雙數。」
換句話講,即係「假設 是單數,则 也是單數。」
因為 是單數,所以 的是整数。
因為 是整数,所以 是單數。
集合論例子
如果 都是集(set),而他们符合 和 。證明如果 ,则 。
證明:
如果用直接證明,會很麻烦。但是,如果利用对立證明,即假設 则会简单得多。
因為 ,而 ,所以 。
这样 一定成立。
更多例子
以下命題都可以用对立證明证真:
- 假設 都是自然數。如果 是單數,则 和 都是單數。
- 假設 都是實數。如果 是無理數,则 或者 是無理數。
参见
參考
- ^ 【学习笔记】离散数学(Discrete Math) - 证明 Proof 3. blog.csdn.net. [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18).
- ^ 反證法與逆否命題法. 線代啟示錄. 2016-03-17 [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18) (英语).
- ^ Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204