奇异函数

奇异函数（英語：singularity function）是一类含有奇异点的不连续函数（在奇异点不连续），其在数学领域里的名称为广义函数或分布。这些函数以角括号标记，形如 $\langle x-a\rangle ^{n}$，其中n为整数。而“$\langle \rangle$”则被称为奇异括号。奇异函数的定义为：

n	$\langle x-a\rangle ^{n}$
$<0$	${\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,$
-2	${\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,$
-1	$\delta (x-a)\,$
0	$H(x-a)\,$
1	$(x-a)H(x-a)\,$
2	$(x-a)^{2}H(x-a)$
$\geq 0$	$(x-a)^{n}H(x-a)$

其中，$\delta (x)$表示狄拉克δ函数，即单位脉冲。$\delta (x)$的一次导数则被称为单位偶。$H(x)$为单位阶跃函数：x<0 时 H(x)=0，而 x>0 时 H(x)=1。H(0)的值则按具体的约定而定。需要注意的是只有n=0时H(0)的值才有影响。$\langle x-a\rangle ^{1}$则称为斜坡函数。

积分

对$\langle x-a\rangle ^{n}$的积分可按下式计算（x=a时积分结果取为0）：

$\int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}$