基爾霍夫電路定律

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古斯塔夫·基爾霍夫

基爾霍夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恆及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於電機工程學。

從馬克士威方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫並不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

基爾霍夫電流定律

所有進入節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。對於本圖案例，$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$ 。

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律，表明：

所有進入某節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。

或者，更詳細描述，

假設進入某節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則所有涉及這節點的電流的代數和等於零。

以方程式表達，對於電路的任意節點，

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第 $k$ 個支路的電流，可以是實數或複數。

由於累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

導引

思考電路的某節點，跟這節點相連接有 $n$ 個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流 $i$ 等於流過支路 $k$ 的電流 $i_{k}$ 的代數和：

$i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}$ 。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程式：

$q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}$ ；

其中，$q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'$ 是累積於這節點的總電荷，$q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'$ 是流過支路 $k$ 的電荷，$t$ 是檢驗時間，$t'$ 是積分時間變數。

假設 $q>0$ ，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律， $q$ 是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，$q=0$ 、$i=0$ ，基爾霍夫電流定律成立：

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ 。

含時電荷密度

從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 $\mathbf {J} _{D}$ 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取散度於馬克士威修正的安培定律，然後與高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {J}$ 是電流密度，$\epsilon _{0}$ 是電常數，$\mathbf {E}$ 是電場，$\rho$ 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 $Q$ 的流失率：

$\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$ 。

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 $\rho$ ，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

應用

以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件（electronic circuit simulation）的理論基礎，例如，SPICE或NI Multisim。

基爾霍夫電壓定律

沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓的代數和等於零。對於本圖案例，$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$ 。

基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律，表明：

沿著閉合迴路所有元件兩端的電勢差（電壓）的代數和等於零。

或者，換句話說，

沿著閉合迴路的所有電動勢的代數和等於所有電壓降的代數和。

以方程式表達，對於電路的任意閉合迴路，

$\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0$ ；

其中，$m$ 是這閉合迴路的元件數目，$v_{k}$ 是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

電場與電勢

在靜電學裏，電勢定義為電場的負線積分：

$\phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!$ ；

其中，$\phi (\mathbf {r} )$ 是電勢，$\mathbf {E}$ 是電場，$\mathbb {L}$ 是從參考位置到位置 $\mathbf {r}$ 的路徑，$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是這路徑的微小線元素。

那麼，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：

$\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0$ ；

其中，$\mathbb {C}$ 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的磁通量為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

理論限制

由於含時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢 ${\mathcal {E}}$ 出現於閉合迴路 $\mathbb {C}$ 。所以，電場沿著閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢 ${\mathcal {E}}_{k}$ 。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。

頻域

思考單頻率交流電路的任意節點，應用基爾霍夫電流定律

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big \{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big \}}=\mathrm {Re} {\Big \{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big \}}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流，$I_{k}$ 是其振幅，$\theta _{k}$ 是其相位，$\omega$ 是角頻率，$t$ 是時間。

對於任意時間，這方程式成立。所以，設定相量 $\mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}$ ，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程式表達，

$\sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0$ 。

頻域的基爾霍夫電流定律表明：

所有進入或離開節點的電流相量的代數和等於零。

這是節點分析的基礎定律。

類似地，對於交流電路的任意閉合迴路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：

沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓相量的代數和等於零。

以方程式表達，

$\sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0$ ；

其中，$\mathbb {V} _{k}$ 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是網目分析（mesh analysis）的基礎定律。

參考

• Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

外部連結

• 麻省理工學院電機工程系視聽教學：基爾霍夫定律 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。
• 國立交通大學物理系視聽教學：電子學。
• Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy