哈韦尔-哈基米算法

哈韦尔-哈基米算法是一种图论算法，由Havel (1955)与Hakimi (1962)先后发表，解决了可简单图化问题。这个问题是指给定一串有限多个非负整数组成的序列，是否存在一个简单图使得其度数列恰为这个序列。我们称满足条件的序列为可简单图化的。如果一个序列可简单图化，这个算法能够构造一个特解；否则算法指出序列不可简单图化。该算法是一个递归算法。

算法

哈韦尔-哈基米算法基于以下定理。

令$S=(d_{1},\dots ,d_{n})$为有限多个非负整数组成的非递增序列。$S$可简单图化当且仅当有穷序列$S'=(d_{2}-1,d_{3}-1,\dots ,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},\dots ,d_{n})$只含有非负整数且是可简单图化的。

如果给定的序列 $S$ 是可简单图化的，那么算法最多运行$n-1$次赋值$S:=S'$。注意每次赋值后可能需要重新对序列排序。当$S'$全部为零时，算法停止。在每一步中，如果序列可简单图化，就从$v_{1}$向$v_{2},\cdots ,v_{n}$各引出一条边，即$\{v_{1},v_{2}\},\{v_{1},v_{3}\},\cdots ,\{v_{1},v_{d_{1}+1}\}$，然后令$S$约化为$S'$。如果在任何一步中，序列$S$无法约化为非负整数序列$S'$，算法就给出最开始的$S$不可简单图化的结论。

参见 

• Erdős–Gallai定理

参考文献 

• Havel, Václav, A remark on the existence of finite graphs, Časopis pro pěstování matematiky, 1955, 80: 477–480 [2017-11-02], （原始内容存档于2017-07-29） （捷克语） 
• Hakimi, S. L., On realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a linear graph. I, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1962, 10: 496–506, MR 0148049 .