定义
一般定义
向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.
维数定义
在向量空间
n中任意向量组构成的集合
(可能是无限的),那么该与该向量组对应的向量子空间
的维数
≤
那么这个
就叫该向量组的秩.
举例
舉例來說,設有一向量組
,若存在r個向量
,且r個向量為向量組
的最大線性無關組,則此最大線性無關組的向量個數r,即為向量組
的秩.
假设矩阵A的列秩为r,记矩阵A的列向量为
,于是能找到r个线性无关的列向量,使得等式
只有零解.另一方面,可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩
.于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量,我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然
列秩.同样可证矩阵A的列秩
行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.