可均群 是數學 上一個特別的局部緊 拓撲群 G ,具備了一種為在G 上的有界函數取平均的操作,而且G 在函數上的群作用 ,不會改變所取得的平均。
緣起
巴拿赫-塔斯基悖論
在
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
上的勒貝格 測度 ,存在不可測的有界子集 。豪斯多夫 研究能否在
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
上定義新的測度 ,使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換 不變性,就是移動及反射一個有界子集,不會改變其測度。不過,新測度無需有勒貝格測度的σ可加性 (可數無限可加性),就是可數無限個不相交子集的測度總和,等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性,就是有限個不相交子集的測度總和,等於其並集的測度。
但是,豪斯多夫、巴拿赫 和塔斯基 後來的研究,發現了維度不小於3的
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
中,任意兩個有內點 的有界子集,可以將其一分成有限塊,再移動拼合成另一個,這就是著名的巴拿赫-塔斯基悖論 。因此3維以上
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。
馮紐曼 研究他們的證明,發現問題關鍵不是在
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的結構,而是在
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的旋轉群上。3維以上的
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
,其旋轉群 有子群 是秩2的自由群 ;而2維時,旋轉群沒有這樣的子群。
於是豪斯多夫原來的測度問題,可以把對象轉到群上面。新的問題是:在一個群G 上,是否存在有限可加的概率測度
μ
{\displaystyle \mu }
,是G -不變的,即是在G 對其中的子集的群作用 下不變:對任何
E
⊂
G
{\displaystyle E\subset G}
和任何
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
,
μ
(
g
E
)
=
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)}
。這樣的概率測度 稱為不變平均。(函數以這測度積分 ,像是取加權平均 。)由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論,便改為考慮與有限可加測度對應的連續 線性泛函 。
外文名稱
可均群的德文 名稱Mittelbare Gruppe,法文 名稱groupe moyennable,其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均 一字,故此Mittelbare,moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group,是英國數學家Mahlon M. Day所譯,字面上與德文及法文不同,但這是藉諧音 玩的文字遊戲,因為amenable的英式讀音 ,與"a mean able"相同(用美式讀音 就失去諧音效果),故此說出來其實也是「可以有一個平均」。
定義
設G 為局部緊群 。G 上存在左哈爾測度
μ
{\displaystyle \mu }
。考慮在測度空間
(
G
,
μ
)
{\displaystyle (G,\mu )}
上的複值本質有界 函數空間
L
∞
(
G
)
{\displaystyle L^{\infty }(G)}
。
線性泛函
Λ
:
L
∞
(
G
)
→
C
{\displaystyle \Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C} }
稱為平均 ,如果
Λ
{\displaystyle \Lambda }
的範數 是1,並且是非負的:若實值函數
f
∈
L
∞
(
G
)
{\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}
適合
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
,則
Λ
(
f
)
≥
0
{\displaystyle \Lambda (f)\geq 0}
。
如果
Λ
{\displaystyle \Lambda }
是一個平均,則有
Λ
(
1
G
)
=
1
{\displaystyle \Lambda (1_{G})=1}
,其中
1
G
{\displaystyle 1_{G}}
是G 的特徵函數 。而且對任何實值函數
f
∈
L
∞
(
G
)
{\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}
,
*
e
s
s
i
n
f
x
∈
G
f
(
x
)
≤
Λ
(
f
)
≤
*
e
s
s
s
u
p
x
∈
G
f
{\displaystyle \operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f}
其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界 。
一個平均是左不變 的,如果對任何
s
∈
G
{\displaystyle s\in G}
,
f
∈
L
∞
(
G
)
{\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}
,在左作用
s
⋅
f
(
x
)
=
f
(
s
−
1
x
)
{\displaystyle s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)}
下,都有
Λ
(
s
⋅
f
)
=
Λ
(
f
)
{\displaystyle \Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)}
。
局部緊群G 如果有一個左不變平均,就稱為可均群 。
可均群有很多等價定義。其中一個是Følner條件:
對任何
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,任何緊子集
C
⊂
G
{\displaystyle C\subset G}
,都存在一個緊子集
K
⊂
G
{\displaystyle K\subset G}
,
0
<
μ
(
K
)
<
∞
{\displaystyle 0<\mu (K)<\infty }
,使得對所有
x
∈
C
{\displaystyle x\in C}
都符合不等式
μ
(
x
K
△
K
)
/
μ
(
K
)
<
ϵ
{\displaystyle \mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon }
此處
△
{\displaystyle \triangle }
是對稱差 。
如果G 是可數無限 的離散群 ,Følner條件等價於:
G 中存在有限子集
S
n
{\displaystyle S_{n}}
,使得對任何
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
,
lim
n
→
∞
|
g
S
n
△
S
n
|
|
S
n
|
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0}
這樣的
(
S
n
)
{\displaystyle (S_{n})}
稱為Følner序列。
性質
可均群的閉 子群都是可均的。
若H 是可均群G 的閉正規子群 ,那麼
G
/
H
{\displaystyle G/H}
是可均群。
若H 是局部緊群G 的閉正規子群 ,而且H 和
G
/
H
{\displaystyle G/H}
都是可均群,那麼G 也是可均群。
設G 是局部緊群,I 是有向集合 ,
(
H
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}
是G 的閉可均子群組成的網 ,對任何
i
≤
j
{\displaystyle i\leq j}
,有
H
i
⊂
H
j
{\displaystyle H_{i}\subset H_{j}}
。那麼
H
=
∪
i
∈
I
H
i
¯
{\displaystyle H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}}
是G 的可均子群。
例子
有限群 是可均群。更一般地,緊群 是可均群,其哈爾測度是一個不變平均。
整數群
(
Z
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}
和實數群
(
R
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}
是可均群,一個在
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
或
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
中長度趨向無窮的有界區間 序列是一個Følner序列。
局部緊的阿貝爾群 是可均群。因此,局部緊的可解群 是可均群:若G 是局部緊的可解群,則有導出列
G
=
G
(
0
)
▹
G
(
1
)
▹
⋯
▹
G
(
k
)
=
{
1
}
{\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}}
其中
G
(
i
+
1
)
=
[
G
(
i
)
,
G
(
i
)
]
{\displaystyle G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]}
。每個
G
(
i
)
/
G
(
i
+
1
)
{\displaystyle G^{(i)}/G^{(i+1)}}
都是阿貝爾群,所以是可均的,而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質,得出G 是可均群。
一個有限生成群 G 是次指數增長 的,如果G 中存在一個有限生成集合 S ,有對稱性
S
=
S
−
1
{\displaystyle S=S^{-1}}
,使得
lim inf
n
→
∞
|
S
n
+
1
|
|
S
n
|
=
1
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1}
次指數增長的有限生成群是可均群。
設
G
1
{\displaystyle G_{1}}
和
G
2
{\displaystyle G_{2}}
是有限生成群 ,而
G
2
{\displaystyle G_{2}}
是可均的。若
G
1
{\displaystyle G_{1}}
擬等距同構 於
G
2
{\displaystyle G_{2}}
,那麼
G
1
{\displaystyle G_{1}}
也是可均群。
秩2的自由群
F
2
{\displaystyle F_{2}}
不是可均群。
所以一個群若包含
F
2
{\displaystyle F_{2}}
為離散 子群,則不是可均群。
如把n 維空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的旋轉群 SO(n )看成離散群 ,則n 不小於3時SO(n )包含
F
2
{\displaystyle F_{2}}
為(離散)子群,因此是非可均群,但SO(2)是阿貝爾群,因此是可均群。這是巴拿赫-塔斯基悖論證明中的構造法在n 不小於3時可行,在n 等於2時不可行的原因。不過若用SO(n )原來的拓撲 ,則對所有n ,SO(n )都是緊群,所以都是可均群。
一個殆連通 的局部緊群G 是可均群,當且僅當G 不包含
F
2
{\displaystyle F_{2}}
為離散子群。(設
G
e
{\displaystyle G_{e}}
是G 的單位連通區 。若
G
/
G
e
{\displaystyle G/G_{e}}
緊緻 ,則G 稱為殆連通群 。)
馮紐曼猜想 推測非可均群都有子群是秩2的自由群,但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群 是非可均的。G 是一個塔斯基魔群,如果有一個固定的素數 p ,G 中所有真子群除了平凡子群外,都是p 階循環群 。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。
腳註
參考
Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups . Wiley. 1984.
Paterson, Alan. Amenability . American Mathematical Society. 1988.
É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. . Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.