星形正多面體
(重定向自克卜勒-龐索立體)
星形正多面體(克卜勒-龐索特多面體)是一類非凸多面體,共有四個。它們的表面均為正多邊形或星形正多邊形,且每個頂點都有相同數目的邊連接。
透视图 | 立体图 | 名稱 | 施氏符號 | 點 | 邊 | 面 | X | 對偶多面體 | 外接立體 | 內接立體 | 點群 |
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小星形十二面體 | {5/2,5} | 12 | 30 | 五角星×12 | -6 | 大十二面體 | 正十二面體 | 正二十面體 | 群 | ||
大十二面體 | {5,5/2} | 12 | 30 | 正五邊形×12 | -6 | 小星形十二面體 | 正二十面體 | 正十二面體 | 群 | ||
大星形十二面體 | {5/2,3} | 20 | 30 | 五角星×12 | 2 | 大二十面體 | 正十二面體 | 正十二面體 | 群 | ||
大二十面體 | {3,5/2} | 12 | 30 | 等邊三角形×20 | 2 | 大星形十二面體 | 正二十面體 | 正二十面體 | 群 |
性質
皮特里多邊形是指兩個連續邊都屬於多面體的一個面,但三邊不屬多面體的面的不共面多邊形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特證明了若正多面體的皮特里多邊形有邊,則有
- 。
除了均為正整數時,有5組解,對應5個正多面體。當為正有理數時,有多4組解,分別對應4個克卜勒-龐索特多面體。
歷史
- 14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
- 15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
- 1619年開普勒重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體,並將它們和正多面體連繫起來。
- 1809年路易斯·龐索發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
- 1859年阿瑟·凱萊敲定了這些形狀的名字。[1]
參見
參考文獻
- ^ Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [論龐索的四種新正立體]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.
- J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
- Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
- Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
- Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
- Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
- Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
- Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8., pp. 39–41.
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- Anthony Pugh. Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra