欧拉方程 (刚体运动)

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述 $\mathbf {L}$ 的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

其中 $\mathbf {L}$ 是角动量在体坐标系中的表达， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 是物体角动量相对于体坐标系的变化， $\mathbf {\omega }$ 是在体坐标系中的角速度，而 $\mathbf {N}$ 是外力矩。

证明

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} =\left(I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}\right)+\mathbf {(} \omega )\times I\mathbf {\omega } =I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}+{\frac {dI}{dt}}\mathbf {\omega } ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

分量形式

采用主轴坐标，I对角化，则 $\mathbf {L}$ 分量形式为 $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}$ 。从而，欧拉方程变为如下分量形式

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}

应用

方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 不再连接到物体本身。 $\mathbf {\omega }$ 是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

參閱