柱諧函數

在數學中，柱諧函數是指在柱坐標中，拉普拉斯方程式，$\nabla ^{2}V(\rho ,\varphi ,z)=0$ ，的一系列的解。每一個柱諧函數 $V_{n,k}(\rho ,\varphi ,z)$ 都是三個函數的積：

$V_{n,k}(\rho ,\varphi ,z)=P_{n,k}(\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z_{k}(z)\,$

其中 $(\rho ,\varphi ,z)$ 是柱坐標下的坐標（分別為半徑、極角和高度），而 n 和 k 則是兩個常數，用以區分不同的柱諧函數。所有的柱諧函數一起，組成一組正交完備的基底，任何一個拉普拉斯方程式的解都可以寫成這些函數的線性組合。

有時候，柱諧函數也用來指代貝塞爾函數（柱諧函數最重要的組成部分）。

定義

本徵方程式的推導

柱坐標下的拉普拉斯方程式為：

$\nabla ^{2}V={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial V}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0$

使用分離變數法，設：

$V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)$

代入拉普拉斯方程式，得到：

${\frac {\Phi Z}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {PZ}{\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+P\Phi {\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=0$

分離變數後，可以寫成：

${\begin{cases}{\frac {1}{P\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,(-n^{2})+k^{2}=0\\{\frac {1}{\Phi }}(d^{2}\Phi /d\varphi ^{2})=-n^{2}\\{\frac {1}{Z}}(d^{2}Z/dz^{2})=k^{2}\end{cases}}$，整理得 ${\begin{cases}\rho ^{2}P''+\rho P'+(k^{2}\rho ^{2}-n^{2})P=0\\\Phi ''+n^{2}\Phi =0\\Z''-k^{2}Z=0\end{cases}}$

本徵方程式的求解

這裡，$\Phi$是一個以$2\pi$為週期的函數，即滿足週期性邊界條件$\Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )$，因此$n$必須為非負整數。可以解出：

$\Phi _{n}=\{\cos(n\varphi ),\sin(n\varphi )\}$，$n\in \mathbb {N}$

或，等價地：

$\Phi _{n}=\{e^{in\varphi },e^{-in\varphi }\}$，$n\in \mathbb {N}$

這裡，花括符表示，兩個解是簡併的。即對於一個n，方程式有兩個線性獨立的解（n=0時除外）。

對於$Z$的方程式，$k$可以是任意一個複數。對於一個特定的$k$，方程式有兩個線性獨立的解。

若k是一個實數，則：

$Z_{k}=\{\cosh(kz),\sinh(kz)\}$

或，等價地：

$Z_{k}=\{e^{kz},e^{-kz}\}$

若k是一個純虛數，則：

$Z_{k}=\{\cos(|k|z),\sin(|k|z)\}$

或，等價地：

$Z_{k}=\{e^{i|k|z},e^{-i|k|z}\}$

對於週期性邊界條件，k取分立值；對於非週期性邊界條件，k取連續值。

而$P$的方程式則是一個貝塞爾方程式，它的解$P_{n,k}$形式如下。

若$k=0$，則該方程式簡化為一個歐拉方程式：

$P_{0,0}=\{1,\ln \rho \}$

$P_{n,0}=\{\rho ^{n},\rho ^{-n}\},n\neq 0$

若$k$是一個非零實數，則方程式的解為第一類和/或第二類貝塞爾函數：

$P_{n,k}=\{J_{n}(k\rho ),Y_{n}(k\rho )\}$

若k是一個純虛數，則方程式的解為修正貝塞爾函數：

$P_{n,k}=\{I_{n}(|k|\rho ),K_{n}(|k|\rho )\}$

最終，柱諧函數可以表達為以上三個函數的乘積，$V_{n,k}=P_{n,k}\Phi _{n}Z_{k}$。

正交完備性

柱諧函數是正交完備的。正交性是指：

$\int _{0}^{\infty }d\rho \int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{-\infty }^{\infty }dz\left[V_{n,k}(\rho ,\theta ,\varphi )V_{n',k'}(\rho ,\theta ,\varphi )\right]={\frac {1}{C_{n,k}^{2}}}\,\delta _{n,n'}\,\delta _{k,k'}$

其中，$\delta _{n,n'}$和$\delta _{k,k'}$為克羅內克符號，$C_{n,k}$為歸一化係數。

完備性是指，對於柱坐標下的任何一個拉普拉斯方程式的解均可以寫成若干個柱諧函數的線性疊加。

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n,k}A_{n,k}V_{n,k}$ ，k取分立值

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int dk\,A_{n}(k)V_{n,k}$ ，k取連續值

參見

• 貝塞爾函數
• 球諧函數