馮·諾伊曼全集

在集合論和有關的數學分支中，馮·諾伊曼全集或馮·諾伊曼集合層次，是由所有集合組成的類，可以分成超限階級的個體集合（a transfinite hierarchy of individual sets）。

它可以用超限歸納法定義為如下：

設V₀是空集{}。
對於任何序數α，設V_α+1是V_α的冪集。
對於任何極限序數λ，設V_λ是迄今為止所有V-階段的聯集：

V_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }V_{\alpha }\!

.

最後，設V是所有V-階段的並：

V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }\!

.

等價的說，對於任何序數α，設 $V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })\!$ ，這裡的 ${\mathcal {P}}(X)\!$ 是X的冪集。

V和集合論

如果ω是自然數的集合，則V_ω是繼承有限集合的集合，它是不帶有無窮公理的集合論的模型。V_ω+ω是普通數學的全集。它是Zermelo集合論的模型。如果κ是不可及基數（英語：Inaccessible cardinal），則V_κ是Zermelo-Fraenkel集合論自身的模型，而V_κ+1是Morse–Kelley集合論的模型。

注意所有個體階段V_α都是集合，但是它們的聯集V是真類。在V中的集合叫做繼承良基集合；基礎公理要求所有集合是良基的而因此是繼承良基的。（也有的公理系統忽略基礎公理，或把基礎公理替換為其強否定，如Aczel的反基礎公理，不過這類系統很少被用到）。

給定任何集合A，使得A是某個V_α的子集的最小序數α是A的階（或繼承等級）。

哲學觀點

有兩種不同的方式來理解馮·諾伊曼全集V和ZFC的聯繫。粗略的說，形式主義者傾向於把V看作是從ZFC公理推出的某種東西（例如，ZFC證明了所有集合都在V中）。在另一方面，實在論者會把馮·諾伊曼全集看作從直覺可直接觸及的某種東西，而把ZFC公理看作在V中為真的命題，透過簡單論證（透過自然語言），可以使人信服它們的真確性。一個可能的中間立場是，馮·諾伊曼層次的形象化概念給ZFC公理提供了一個動機（所以這些公理不是任意提出來的），但這不意味ZFC公理確實有描述真實存在的物件。

參見