密度矩阵重整化群

密度矩阵重整化群 (Density Matrix Renormalization Group)，简称DMRG，是一种数值算法，于公元1992年由美国物理学家史提芬·怀特提出。 密度矩阵重整化群是用来计算量子多体系统（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一个非常精准的数值算法，在一维或准一维的系统可以得到系统尺寸很大且很准确的计算结果，但是在二维的量子多体系统中却很难达到所需要的精确度。目前此算法仍无法计算三维的量子系统。

DMRG 的起源

从数值计算的角度来看，量子多体物理主要的困难之处就在于系统的希尔伯特空间维度随着系统的尺寸呈指数成长，例如，一个由$N$个自旋1/2的粒子所组成的一维晶格系统其希尔伯特空间维度大小为 $2^{N}$。 传统的解决方法有两种：

1. 基于Lanczos算法的精确对角化法，只求出系统的低能状态。这种方法只能处理很小的系统。
2. 基于数值重整化群（Numerical Renormalization Group，简称NRG）的重整化方法，可以计算很大的系统。重整化的一般思想是：减少系统的自由度，并在这个缩减的空间中，通过特定的重整化技巧，在迭代过程中保持系统的自由度数不变，并使约化系统最终收敛到真正系统的低能态中。然而，NRG一般只适用在杂质系统中，当演算一般的格点系统，如赫巴德模型（Hubbard model）时，往往出现很大的误差。

史提芬·怀特最先意识到，NRG在演算Hubbard模型中的失败，是由于在NRG的迭代过程中忽略了环境对系统的影响。换句话说，NRG的重整化方法——只保留低能量本征态——并不能正确得出下一次迭代时的低能状态。
DMRG的重整化方法不同于NRG。DMRG在重整化前，把整个系统视为两个部分，一部分为系统，一部分为环境，而系统和环境的整体称为超块。接着，计算超块的基态，有了基态之后便计算约化密度矩阵，然后对角化这个约化密度矩阵，选出拥有较大的本征值的本征态。这些拥有较大的本征值的本征态正是基态性质最重要的态，然后根据此标准对系统部分做重整化。

实行DMRG的技巧

实际实行DMRG是一个很冗长的工作，一些主要常用的计算手段如下：

• 为了得到超块的基态，通常利用Lanczos 算法或Jacobi-Davidson 算法来对角化超块的哈密顿算符。

• 一般的情况下，Lanczos 算法需要一个初始的随机向量。通过若干次迭代后，该向量收敛到基态。这说明算法的计算速度跟向量迭代到基态的次数有关。显然，如果能找出一个跟基态非常接近的向量做初始的随机向量，Lanczos 算法的效率必然大大提高。史提芬·怀特在公元1996年提出：透过波函数转换可将目前这次计算得到的基态，作为下一次Lanczos 算法的初始向量。如此一来便加速对角化超块的哈密顿算符所花的时间。
• Lanczos 算法中需要做被对角化矩阵和向量的乘积计算。该被对角化的矩阵往往非常大，直接列出该矩阵和做矩阵向量乘积会严重降低Lanczos 算法效率。当该被对角化矩阵可以拆分为几个小矩阵的直积之和时（DMRG所计算的格点系统往往有这种性质），可以无需直接写出该矩阵而完成整个Lanczos 算法。
• 在有对称性的系统中有一些守恒的量子数，例如海森堡模型中的总自旋及其$z$轴分量。若是已知基态的量子数则可针对系统的希尔伯特空间特定的量子数的子空间进行对角化。

如缺少上述的一些计算手段，DMRG可能难以完成对实际物理模型的演算。

应用

DMRG 已经成功的在许多不同的一维模型上计算低能态的一些性质，如易辛模型，海森保模型等自旋模型，费米子系统如 Hubbard 模型 ，杂质系统如近藤效应，玻色子系统，混合玻色子与费米子的系统。随着现代电脑硬件技术的进步，DMRG应用在二维系统上可行性愈来愈高，目前一般的作法是将二维系统视为一个多腿的梯子，再将梯子的长度拉长。2011年发表在《Science》封面的一篇文章中，利用 DMRG 探讨二维Kagome晶格中的自旋-1/2系统的基态。由这篇文章来看， DMRG 可能仍是对付二维系统最强大的武器。

矩阵积态（Matrix Product State）

DMRG之所以在一维系统中如此成功，背后的理论可以用矩阵积态来加以解释。有限尺度的DMRG中，扫荡的过程等同于将此系统的波函数写在矩阵积态空间做变分法。以自旋-1/2的系统为例，矩阵积态如以下形式：

$|\Phi \rangle =\sum _{\sigma _{1}\cdots \sigma _{N}}(A_{1}^{[\sigma _{1}]}A_{2}^{[\sigma _{2}]}\cdots A_{n}^{[\sigma _{n}]}\cdots A_{N-1}^{[\sigma _{N-1}]}A_{N}^{[\sigma _{N}]})|\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{N}\rangle$

其中$\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{N}$表示每一个格点上自旋$z$方向的分量，$A_{i}^{[\sigma _{i}]}$表示第$i$格点、自旋$z$方向的分量为$\sigma _{i}$的矩阵。$A_{1}^{[\sigma _{1}]}$矩阵大小是1×d、$A_{2}^{[\sigma _{2}]}$矩阵大小是d×d²、$A_{3}^{[\sigma _{3}]}$矩阵大小是d²×d³、……直到第$n$格点时，dⁿ≥m，$A_{n}^{[\sigma _{n}]}$矩阵大小是d^n-1×m、$A_{n+1}^{[\sigma _{n+1}]}$矩阵大小是m×m、……，$A_{N-1}^{[\sigma _{N-1}]}$矩阵大小是d²×d、$A_{N}^{[\sigma _{N}]}$矩阵大小是d×1。当m趋近无穷大时，所有的波函数皆可写成矩阵积态的形式。

DMRG 的扩充

DMRG的巨大成功带给人们许多冲击与启示，可惜的是由于波函数被表示成矩阵积态（Matrix Product State），造成DMRG在处理二维量子晶格系统时特别困难，更别说是三维的量子系统。继承DMRG的知识和技术，许多物理学家着手发展适合研究二维甚至三维系统中的数值方法，例如：TEBD（Time-evolving block decimation）、PEPS（Projected Entangled Pair States）、MERA（multi-scale entanglement renormalization ansatz），等等。另一方面，也有许多物理学家在原有的DMRG方法上加以改良，让科学家可以处理更多有趣的一维量子晶格系统的问题，例如：时间演化、有限温度，等等。

其他

• 强关联系统中常见的数值方法还有：量子蒙特卡罗法(Quantum Monte Carlo)、精确对角化法(Exact Diagonalization)。

• 一个密度矩阵重整化群的实例：海森堡模型的DMRG