解析容度

在复分析中，复平面的紧子集K的解析容度（analytic capacity）是一个标志了$\mathbb {C} \setminus K$上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度$\gamma (K)$测量了$\mathbb {C} \setminus K$上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。

定义

紧集$K\subset \mathbb {C}$的解析容度定义为

$\gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}$

其中，${\mathcal {H}}^{\infty }(U)$表示有界解析函数$f:U\to \mathbb {C}$组成的集合。此外，

$f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}$

$f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}$

注意如果令$g(z)=f(1/z)$，则有$f'(\infty )=g'(0)$。但是，一般来说$f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}$。

对任意集合$A\subset \mathbb {C}$，定义

$\gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}$

其中K取遍所有包含于A的紧集。

可去集与潘勒韦问题

设K是紧集，若对任意包含K的开集$\Omega$，集合$\Omega \setminus K$上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个$\Omega$上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“$\mathbb {C}$的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当$\gamma (K)=0$。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

阿尔福斯函数

对紧集$K\subset \mathbb {C}$，存在唯一的极值函数，即$f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)$使得$\|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)$。这个函数称为K的阿尔福斯函数。

解析容度与豪斯多夫维数

用$\dim _{H}$表示豪斯多夫维数，${\mathcal {H}}^{1}$表示1维豪斯多夫测度。则${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$蕴含$\gamma (K)=0$，而$\dim _{H}(K)>1$保证了$\gamma (K)>0$。然而，$\dim _{H}(K)=1$

与${\mathcal {H}}^{1}(K)>0$的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子

之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想$\gamma (K)=0$蕴含${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设$K_{0}:=[0,1]\times [0,1]$是单位正方形。然后$K_{1}$是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于$K_{0}$的四个角。以此类推，$K_{n}$是$4^{n}$个边长为$4^{-n}$的正方形（记做$Q_{n}^{j}$）的并，每个$Q_{n}^{j}$位于某个$Q_{n-1}^{k}$的一角。令K是所有$K_{n}$的交，则${\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}$，但是$\gamma (K)=0$。

Vitushkin猜想

设$K\subset \mathbb {C}$是紧集，Vitushkin猜想叙述为

$\gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0$

其中$\operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta$表示在方向$\theta$上的正交投影。根据上面的结果，当$\dim _{H}(K)\neq 1$时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在$\dim _{H}(K)=1$且${\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty$的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数$C>0$使得对紧集$K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}$（其中$K_{i}$是博雷尔集），$\gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}$

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于${\mathcal {H}}^{1}$是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是${\mathcal {H}}^{1}$σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

参考资料

• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.