在數學 中, 特別是在常微分方程 的研究中,皮亞諾存在定理 (又稱為皮亞諾定理 、柯西 -皮亞諾定理 )是以數學家 朱塞佩·皮亞諾 的名字命名的一個定理 。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一,保證了微分方程在一定的初始條件 下的解的存在性。
歷史
這個定理最早由數學家 朱塞佩·皮亞諾 在1886年發表,但是他給出的證明 是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。
定理
設 D 為R × R 的一個開子集 ,以及一個連續函數 :
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
皮亞諾存在定理:定義在 D 上的一個一階線性 常微分方程 (其中
(
x
0
,
y
0
)
∈
D
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}
)
f
(
x
,
y
(
x
)
)
=
y
′
(
x
)
{\displaystyle f\left(x,y(x)\right)=y'(x)}
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}
必然有局部解 。也就是說,必定存在一個關於
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的鄰域 I ,以及一個函數:
z
:
I
→
R
{\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }
滿足
∀
x
∈
I
,
f
(
x
,
z
(
x
)
)
=
z
′
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in I,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)}
。
相關定理
皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理 :皮卡-林德洛夫定理 作比較。相比起皮亞諾存在定理,皮卡-林德洛夫定理對函數
f
{\displaystyle f}
的要求更嚴格,但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數
f
{\displaystyle f}
局部地滿足利普希茨條件 ,也就是說在任意一點 x 的附近,都有一個常數
K
x
{\displaystyle K_{x}}
和一個鄰域
I
x
{\displaystyle I_{x}}
,使得對於
I
x
{\displaystyle I_{x}}
中任意的
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
兩點,都有:
|
f
(
a
)
−
f
(
b
)
|
≤
K
x
|
a
−
b
|
{\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K_{x}|a-b|}
。
這個要求比單純的連續性要高,但是得出的結論也更強了:皮卡-林德洛夫定理說明,在滿足上述要求時,微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。
例子
設
T
>
0
{\displaystyle T>0}
為一個常數,考慮函數
h
′
=
|
h
|
1
2
,
y
(
T
)
=
0
{\displaystyle h'=\left\vert h\right\vert ^{\frac {1}{2}},\ \ \ y(T)=0}
,其定義域設為
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[0,T\right]}
。
根據皮亞諾存在定理,由於函數
f
:
x
→
|
x
|
1
2
{\displaystyle f:x\to \left\vert x\right\vert ^{\frac {1}{2}}}
在
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[0,T\right]}
上連續,微分方程有解。但由於
f
{\displaystyle f}
在0處的導數為正無窮,
f
{\displaystyle f}
在
[
0
,
1
]
{\displaystyle \left[0,1\right]}
上不滿足利普希茨條件 ,於是解不一定是唯一的。事實上:對於任意的
0
<
t
0
<
T
{\displaystyle 0<t_{0}<T}
,定義為:當
t
≤
t
0
{\displaystyle t\leq t_{0}}
時
h
(
t
)
=
(
t
−
t
0
)
2
/
4
{\displaystyle h(t)=(t-t_{0})^{2}/4}
,當
t
0
≤
t
≤
T
{\displaystyle t_{0}\leq t\leq T}
時
y
=
0
{\displaystyle y=0}
的函數
h
{\displaystyle h}
都是微分方程的解,也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型:假設有一個漏水的容器,其水面高度(函數
h
{\displaystyle h}
)和時間的關係由以上的微分方程定義的話,那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程,所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態(
y
(
T
)
=
0
{\displaystyle y(T)=0}
)的話,是無法倒過來推測原來的水位有多高的(也就是說沒有唯一解)。
參考來源
G. Peano, Sull』integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine , Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
G. Peano, Demonstration de l』intégrabilité des équations différentielles ordinaires , Mathematische Annalen , 37 (1890) 182–228.
W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung , Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations , McGraw-Hill, 1955.