散粒雜訊

散粒雜訊是一種實驗觀測中的讀出雜訊，當觀測中數量有限的攜帶能量的粒子（例如電路中的電子或光學儀器中的光子）數量少到能夠引發數據讀取中出現可觀測到的統計漲落，這種讀出的統計漲落被稱作散粒雜訊。這種雜訊在電子學、通訊和基礎物理領域是相當重要的概念。

這種雜訊的強度隨着平均電流強度或平均光強度增加，但是由於電流強度或光強度的增加會使訊號本身的強度增加相對散粒雜訊的增加更快，增加電流強度或光強度實際是提升了訊號雜訊比。

散粒雜訊的本質在於，通過測量到的電流強度或光強度能夠給出收集到的電子或光子的平均數量，但無法得知任意時刻實際收集到的電子或光子數量。其分佈按平均值遵循卜瓦松分佈。由於卜瓦松分佈在大量粒子數時趨向於正態分佈，在大量粒子存在時訊號中的散粒雜訊會呈現正態分佈。散粒雜訊的標準差此時等於平均粒子數的平方根，訊號雜訊比從而為

SNR={\frac {N}{\sqrt {N}}}={\sqrt {N}}\,

這裏 $N\,$ 是採集到的平均粒子數。當 $N\,$ 很大時訊號雜訊比也會很大。因此尤其當測量中採集的粒子數很少時對散粒雜訊的分析就顯得非常重要。

解釋

直觀解釋

散粒雜訊的存在是由於光或電流是由處在運動中的離散的且量子化的波包構成。想像一束從激光器中出射的光照射到牆上，這束光由量子化的波包或光子構成。當照射到牆上的光斑足夠亮以至於能夠被肉眼直接看到時，這束光每秒鐘撞擊到牆上的光子可以有幾十億個。由此試想如果調低激光器的功率使光斑逐漸變得不可見，可以想像理論上能夠達到使激光器中出射的光子每秒只有幾個的狀態。但在這裏要注意，所謂「每秒只有幾個光子」照射到牆上是指平均每秒照射到牆上的光子數，而量子理論指出光子從激光器中出射的時間是隨機的，也就是說如果平均每秒出射光子數為5，實際出射的光子數可能在前一秒是2，下一秒是10，這樣的量子漲落被稱作散粒雜訊。

電子器件中的散粒雜訊

電子器件中的散粒雜訊來自於導體中電流的隨機漲落，即來自攜帶電流的離散載體電子。這在P-N結中經常是一個問題，而在金屬導線中這些隨機漲落會通過獨立電子之間的互相關性而消除。^[1]^[2]

在電子器件中，散粒雜訊要和處於熱平衡狀態的電流漲落相區別，後者在沒有任何電壓或平均電流的情形下同樣存在，它被稱作約翰森-奈奎斯特雜訊（熱雜訊）^[3]。

散粒雜訊是一個卜瓦松過程，載流子使雜訊遵循卜瓦松分佈，其漲落的標準差為

\sigma _{i}={\sqrt {2\,q\,I\,\Delta f}}

其中 $q\,$ 是基本電荷， $\Delta f\,$ 是測量雜訊所覆蓋的頻域帶寬， $I\,$ 是通過器件的平均電流。所有物理量都使用國際單位制。

如果平均電流為100毫安，雜訊通過帶寬為1赫茲的濾波器，其散粒雜訊為

\sigma _{i}=0.18\,\mathrm {nA}

當電流通過一個電阻時，所產生的散粒雜訊功率為

P=2\,q\,I\,\Delta fR.

如果電荷不是局部的，而是存在一個時間分佈 $qF(t)\,$ ，其中分佈函數 $F(t)\,$ 對時間的積分歸一，則雜訊的功率譜密度為

S_{i}(f)=2\,q\,I\,|\Psi (f)|^{2},

其中 $\Psi (f)\,$ 是 $F(t)\,$ 的傅立葉變換。

量子光學中的散粒雜訊

在量子光學中，散粒雜訊來源於光量子的漲落，也就是電磁場能量的量子化。散粒雜訊是量子雜訊中主要的部分。

散粒雜訊不僅能夠在少量光子的場合使用光電倍增管測量，也能夠在強光場合使用光電二極體並以高時間解像度的示波器測量。由於光電流和光強（光量子數）成正比，電磁場能量的漲落經常能夠包含在對電流的測量中。

對於像激光這樣的相干光源，散粒雜訊的大小和光強的平方根成正比：

\Delta I^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \left(I-\langle I\rangle \right)^{2}\rangle \propto I.

重力波探測器中的散粒雜訊

根據取樣定理，在重力波探測器中若要測量頻率為 $f\,$ 的重力波訊號，需要每秒至少做 $2f\,$ 次測量，因此一次累積光子的時間可設為 $1/2f\,$ 。則對功率為 $P\,$ 的光訊號，可以得到的光子數量為

N={\frac {P/({\frac {hc}{\lambda }})}{2f}}\,

光子到達光接收器的行為是一個卜瓦松過程，因此它們會隨機地影響光強分佈產生隨機漲落，這種隨機漲落有可能會淹沒真正的重力波訊號或形成看上去像重力波訊號的偽訊號。由於散粒雜訊和光子數量的平方根成反比，積累的光子數量 $N\,$ 越多，得到的干涉訊號就越平滑。如果使用波長為1微米量級的紅外線，測量精確度可達到

\delta l_{shot}=\lambda /(2\pi {\sqrt {N}})

雖然從散粒雜訊的角度而言積累的光子數量越多越好，但由於取樣定理的限制，一次積累光子的時間不能太長，否則太低的採樣頻率會造成頻率混疊，因此提高靈敏度只能靠提高激光功率。

參見

參考文獻

^ Horowitz, Paul and Winfield Hill, The Art of Electronics, 2nd edition. Cambridge (UK): Cambridge University Press, 1989, pp. 431-2.
^ Bryant, James, Analog Dialog, issue 24-3. [1]
^ 散粒雜訊和約翰森-奈奎斯特雜訊都屬於量子雜訊，有些作者將它們歸為一類概念，參見R. Sarpeshkar, T. Delbruck, and C. A. Mead, "White noise in MOS transistors and resistors", IEEE Circuits Devices Mag., pp. 23–29, Nov. 1993.

外部連結

Shot noise on arxiv.org （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1] Horowitz, Paul and Winfield Hill, The Art of Electronics, 2nd edition. Cambridge (UK): Cambridge University Press, 1989, pp. 431-2.

[2] Bryant, James, Analog Dialog, issue 24-3. [1]

[3] 散粒雜訊和約翰森-奈奎斯特雜訊都屬於量子雜訊，有些作者將它們歸為一類概念，參見R. Sarpeshkar, T. Delbruck, and C. A. Mead, "White noise in MOS transistors and resistors", IEEE Circuits Devices Mag., pp. 23–29, Nov. 1993.

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