軸角

旋轉的軸角表示用兩個值參數化了旋轉: 一個軸或直線，和描述繞這個軸的旋轉量的一個角。它也叫做旋轉的指數坐標。

有時也叫做旋轉向量表示，因為這兩個參數(軸和角)可用在這個軸上的其模是旋轉角的一個向量來表示。

用途

軸角表示在處理剛體動力學的時候是方便的。它對特徵化旋轉還有在剛體運動的不同表示之間的轉換是有用的。

假如你站在地面上，選取重力的方向為負 z 方向。如果你左轉，你將繞 z 軸旋轉 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 弧度 (或 90 度)。在軸角表示中，這將是

\langle \mathrm {axis} ,\mathrm {angle} \rangle =\left({\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right)

這可以表示為指示 z 方向的模為 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 的旋轉向量。

{\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}

表示旋轉有很多方式。理解它們相互之間的區別和如何轉換是重要的。

從旋轉的軸角表示到旋轉矩陣的變換使用指數映射。

\exp \colon so(3)\to SO(3)

本質上說，通過使用泰勒展開，你可以得出在這兩種表示之間的閉合形式的關係。給出一個軸 $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ 和角 $\theta \in \mathbb {R}$ ，等價的旋轉矩陣給出為:

R=\exp({\hat {\omega }}\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\hat {\omega }}\theta )^{k}}{k!}}=I+{\hat {\omega }}\theta +{\frac {1}{2}}({\hat {\omega }}\theta )^{2}+{\frac {1}{6}}({\hat {\omega }}\theta )^{3}+\cdots

R=I+{\hat {\omega }}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)+{\hat {\omega }}^{2}\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)

R=I+{\hat {\omega }}\sin(\theta )+{\hat {\omega }}^{2}(1-\cos(\theta ))

這裡的 R 是 3x3 旋轉矩陣而帽算子給出與叉積被乘數對應的反對稱矩陣算符。

要獲得旋轉矩陣的軸角表示，計算旋轉的角

\theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)

並接着使用它來找到軸

\omega ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}

要從軸角坐標變換到四元數使用下列表達式:

\mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\omega \sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)

給出一個單位四元數 $q = r + v$ ，提取軸角坐標可以使用下列表達式:

\theta =2\,\arccos(r)\,

\omega ={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}