立方根

$y={\sqrt[{3}]{x}}\quad (x\geq 0)$的图像

如果一个数$x$的立方等于$a$，那么这个数$x$就是$a$的立方根，其中$a$称为被开方数，而$x$可以是正数、0、负数或虚数。例如3的立方为27，那么这个数3就是27的一个立方根（在实数范围内）。若$x$是正实数，这个乘积相当于一个边长为$x$的立方体的体积。

符号

在实数系中，实数$a$的立方根通常用${\sqrt[{3}]{a}}$表示，可读作“$a$的立方根”，“立方根$a$”或“根号$a$开三次方”。

值得注意的是，某个实数$a$的立方根在复数系中可能有1个，或者2个，或者3个，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数$a$的立方根唯一确定。习惯上，三次根号${\sqrt[{3}]{a}}$仅用来表示实数解。例如：${\sqrt[{3}]{1}}$仅表示实数1，而不表示复数${\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，与${\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$。

1的立方根

即解$x^{3}=1$，解法如下：

$\Rightarrow x^{3}-1=0$

$\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0$（立方差）

$\Rightarrow x-1=0$或$x^{2}+x+1=0$

$\Rightarrow x=1$或$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$（公式解）

令$\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，则$\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$；反之，令$\omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$，则$\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$。由以上的式子可看出$\omega$的特性有：

• ${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$
• ${{\omega }^{3}}=1$（将$\omega$代回$x^{3}=1$求得）

故$\omega$可代表${\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$中的任何一数，即$\omega$为1的立方虚根。

数值方法

• 牛顿法：$x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
• 哈雷法：$x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

符号史

1220年意大利人斐波那契第一次使用$\operatorname {R} x$来表达立方根，$\operatorname {R}$源于拉丁文radix的首字母，意思为“根、方根”。

十七世纪初时，法国数学家笛卡儿（1596－1650）在他的著作几何学中第一次使用不连续的“√”及“￣”表示根号，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Loubere）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号${\sqrt {\color {white}x}}$。

参见

• 方根

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 立方根. MathWorld.