特定指数的费马大定理的证明

费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指数n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

n=4

证明$x^{4}+y^{4}=z^{4}$没有全不为0的整数解。

预备知识

假设x,y,z是满足$x^{2}+y^{2}=z^{2}$的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得$x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}$。

证明过程

1

假设(x,y,z)为方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$一个解并且x,y互质，y为偶数，则$x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}$，其中$a>b>0$，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由$x^{2}=a^{2}-b^{2}$得a必定是奇数，b必定是偶数。

2

另外，亦得$x^{2}+b^{2}=a^{2}$，再从此得$x=c^{2}-d^{2},b=2cd,a=c^{2}+d^{2}$，其中$c>d>0$，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

3

最后有$y^{2}=2ab=4cd(c^{2}+d^{2})$，由此得c、d和$c^{2}+d^{2}$为平方数。于是可设$c=e^{2},d=f^{2},c^{2}+d^{2}=g^{2}$,即$e^{4}+f^{4}=g^{2}$。换句话说，(e,f,g)为方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$的另外一个解。但是，$z=a^{2}+b^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}+4c^{2}d^{2}>g^{4}>g>0$。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$没有正整数解。