支撑函数

在数学领域内，$\mathbb {R} ^{n}$的一个非空的闭凸子集$A$的支撑函数$h_{A}$，描述了从$A$的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。$h_{A}$是$\mathbb {R} ^{n}$上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，$h_{A}$作为集合$A$上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概念。

定义

$\mathbb {R} ^{n}$的非空闭凸子集$A$的支撑函数是：

$h_{A}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto \sup\{x\cdot a:a\in A\}$，其中${\textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

下面的性质并不要求集合A是闭且凸的：在$h_{A}(x)$有界时，集合$\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x\leq h_{A}(x)\}$表示最小的包含A的闭的半空间（half-space）；进一步地，集合${\mathcal {H}}_{x}=\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x=h_{A}(x)\}$就是A的支撑超平面（supporting hyperplane）。

原点到A的支撑超平面的距离$d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)$满足这样的关系：$d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)={\frac {h_{A}(x)}{|x|}}$。取x 的模为1 就利用A的支撑函数描述了A的支撑超平面到原点的距离。

例子

• 单点集的支撑函数：${\textstyle A=\{a\}}$，${\textstyle h_{A}(x)=x\cdot a}$
• 单位球的支撑函数：${\textstyle B_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$，$h_{B_{1}}(x)=|x|$
• 取A为从a到-a的线段，则有：$h_{A}=|x\cdot a|$