假設事先不知道 ( sin x ) 2 + ( cos x ) 2 {\displaystyle (\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}} 恆等於1，請問如何使用算幾不等式或柯西不等式 計算得出「 ( sin x ) 2 + ( cos x ) 2 {\displaystyle (\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}} 的最大值為1，等號成立當且僅當 sin x = sin x {\displaystyle \sin x=\sin x} 且 cos x = cos x {\displaystyle \cos x=\cos x} 」， 或計算得出「 ( sin x ) 2 + ( cos x ) 2 {\displaystyle (\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}} 的最小值為1，等號成立當且僅當 sin x = sin x {\displaystyle \sin x=\sin x} 且 cos x = cos x {\displaystyle \cos x=\cos x} 」？ 我算了好久，算不出來，因為無法避免循環論證。謝謝！
请问“當且僅當 sin x = sin x {\displaystyle \sin x=\sin x} 且 cos x = cos x {\displaystyle \cos x=\cos x} ”是什么意思？难道存在 sin x ≠ sin x {\displaystyle \sin x\neq \sin x} 或 cos x ≠ cos x {\displaystyle \cos x\neq \cos x} 的情况？
沒人規定必要條件不能「恆真」吧！？ 否則，閣下認為 ( sin x ) 2 + ( cos x ) 2 ≤ 1 {\displaystyle (\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}\leq 1} 等號成立的必要條件是什麼呢？ 比方， 根據算幾不等式， a + a 2 ≥ a ⋅ a {\displaystyle {\frac {a+a}{2}}\geq {\sqrt {a\cdot a}}} ，等號成立當且僅當 a = a {\displaystyle a=a} 時 根據柯西不等式， ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a ⋅ a + b ⋅ b ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})\geq (a\cdot a+b\cdot b)^{2}} ，等號成立當且僅當 a b = b a {\displaystyle ab=ba} 時 這也是前人研究發現，延續下來的規則啊！我們一一填坑，得到的充分必要條件就是長這樣啊！所以存在 a ≠ a {\displaystyle a\neq a} 或 a b ≠ b a {\displaystyle ab\neq ba} 的情況？
等號成立的必要條件是什麼呢？
，等號成立當且僅當
時
，等號成立當且僅當
時
或
的情況？
