数学原理
数学原理 | |
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作者 | 伯特兰·罗素 |
类型 | 丛书 |
语言 | 英語 |
發行信息 | |
出版机构 | 劍橋大學出版社 |
出版時間 | 1913年 |
此條目翻譯品質不佳。 (2015年7月31日) |
《数学原理》(英語:Principia Mathematica,缩写PM)是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍,书籍共分三卷,分别出版于1910年,1912年,1913年。
它通常缩写為PM (Principia Mathematica),為表述所有数学真理在一组数理逻辑內的公理和推理规则下,原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目對於数学史和哲学史都是非常重要的,[1]然而在1931年,哥德尔不完备性定理证明對於数学原理或其他任何類似的尝试,这个崇高的目标皆永远无法达到;也就是说,任何尝试以一组公理和推理规则來建立的数学系統,不是不自洽,就是不完備 (即存在一些数学真理不能由此系統推理演绎出來)。
数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作,但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合(罗素悖论)。数学原理排除无限制创建任意的集合來试图避免这个问题,它以不同“类型”的集合來取代一般的集合,一组特定类型的集合只能包含套較低的类型。然而在当代数学,會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系,來避免如罗素的笨拙方式。
现代图书馆將此書排在二十世纪英文非虚构书籍中的第23名。[2]
覆盖范围
原书仅囊括集合论、基数、序数和实数,并没有包括实分析等复杂定理。然而,前三卷所设基础已令许多读者相信,从理论上来说,书中所用的形式逻辑可以用来推导出绝大多数的已知数学定理,但其实际工作的繁琐程度亦显而易见。
作者原本筹划撰写涵盖几何的第四卷,但在完成第三卷后,作者灵感匮乏,未能成书。
理论基础
由于在理论上由库尔特·哥德尔(下同)的批评指出,不同于形式主义理论,PM的“logicistic”理论有没有“形式主义的语法明确说明”。另一种看法是,在理论上,(在模型论的意义上)解释的真值的符号的行为来表述“⊢”(真理断言),“〜”(逻辑非)和“V”(逻辑或)。
真值:PM嵌入“真”和“假”的概念,“原始命题”的概念。原料(纯)形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚,符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来,通过“价值”的分配,模式将指定什么公式说的解释。因此,在正式的克莱尼符号下方设置,“解释”什么样的符号通常是指,并暗示他们如何最终被采用,在括号内,例如,“¬(不)”。但是,这不是一个纯粹的形式主义理论。
正式的理论的当代建构
下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下:
使用的符号:该组是开始集合,其它符号可以出现,而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组:逻辑符号“→”(意味着,IF-THEN“⊃”),“&”(和)中,“V”(或),“¬”(不) “∀”(所有),“∃”(存在);谓词符号“=”(等于);函数符号“+”(算术加法),“∙”(算术乘法),“'”(继任者);个别符号“0”(零);变量“一”,“B”,“C”等;和括号“(”和“)”。 符号串:该理论将通过串联(并列)建立这些符号的“弦”.[3] 形成规则:理论指定的语法规则(语法规则),通常为以“0”开头,并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”(Wff)递归定义[4]这包括对于所谓的“变量”(相对于其他符号类型)中的符号串的规则对“替代”。[5] 变换规则(S):指定符号和符号序列的行为的公理。 推理,支队规则,肯定前件:允许理论从“前提”,导致到了“分离”一个“结论”的规则,并随后放弃“处所”(符号到行的左边│或符号线之上,如果水平)。如果不是这种情况,那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上,假言推理的应用程序后,没有什么是离开,但结论,剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”: A,A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线,这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”(即,有一种特殊形式的符号可以采取可数)。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别:给定的符号串IF A和A蕴涵B,那么B(并保留进一步使用仅B)。但符号都没有“解释”(例如,没有“真值表”或“真值”或“真理功能”)和假言推理机制上进行,由单独的语法。
构成
PM理论既有相似之处显著,以及类似的差异,当代形式理论。克林指出,“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信,或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”[6]事实上,PM理论不像形式主义理论,即操纵符号根据语法规则,PM引入了“真值”的概念,即在现实世界意义的真理和谬误,以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素(PM 1962:4-36):
版本差异
卷I有五个新增:
- 附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线
- 附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性的公理
- 附录C、8页讨论命题函数
- 8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。
- 1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。
參見
参考資料
- ^ Irvine, Andrew D. Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. 2003-05-01 [2009-08-05]. (原始内容存档于2019-04-28).
- ^ The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century. The New York Times Company. 1999-04-30 [2009-08-05]. (原始内容存档于2020-06-12).
- ^ Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
- ^ Enderton 2001:16
- ^ This is the word used by Kleene 1952:78
- ^ Quote from Kleene 1952:45. See discussion LOGICISM at pages 43–46.
外部連結
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1910 [2015-07-31], JFM 41.0083.02, (原始内容存档于2022-01-18)
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1912 [2015-07-31], JFM 43.0093.03, (原始内容存档于2022-01-18)
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1913 [2015-07-31], JFM 44.0068.01, (原始内容存档于2022-01-18)
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1925, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica to *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, 1997 [1962], ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042
- The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.
- Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
- Stephen Cole Kleene; Michael Beeson. Introduction to Metamathematics Paperback. Ishi Press. March 2009. ISBN 978-0-923891-57-2.
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- Michel Weber and Will Desmond (eds.). Handbook of Whiteheadian Process Thought (页面存档备份,存于互联网档案馆), Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
- Principia Mathematica (页面存档备份,存于互联网档案馆)—by A. D. Irvine.
- The Notation in Principia Mathematica (页面存档备份,存于互联网档案馆)—by Bernard Linsky.
- Proposition ✸54.43 (页面存档备份,存于互联网档案馆) in a more modern notation (Metamath)