轉動慣量 常見符號
I 国际单位 kg·m2 其他單位
lbf·ft·s2 單位因次 M L 2 從其他物理量的推衍
I
=
L
ω
{\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}}
因次 M L 2
走钢丝 者手里端着长杆，为了靠转动惯量保持平衡，对抗转动运动。圖為撒姆爾·迪克森 （Samuel Dixon）於1890年穿過尼加拉河的相片。在经典力學中，轉動慣量 又稱慣性矩 （英語：Moment of inertia ），通常以
I
{\displaystyle I}
[ 1] 國際單位制 為
k
g
⋅
m
2
{\displaystyle \mathrm {kg\cdot m^{2}} }
慣性 大小的量度。一個剛體對於某轉軸的轉動慣量決定對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。
轉動慣量在转动力学中的角色相當於線性動力學中的質量 ，描述角動量 、角速度 、力矩 和角加速度 等數個量之間的關係。
飛輪 擁有很大的轉動慣量，可以用來使機械運轉順滑對於一個質點 ，
I
=
m
r
2
{\displaystyle I=mr^{2}}
m
{\displaystyle m}
質量 ，
r
{\displaystyle r}
對於一個有多個質點的系統，
I
=
∑
i
=
1
N
m
i
r
i
2
{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}}
对于剛體 ，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分 計算其轉動慣量，
I
=
∫
ρ
r
2
d
V
{\displaystyle I=\int {\rho r^{2}}dV}
ρ
{\displaystyle \rho }
d
V
{\displaystyle dV}
在直線運動，
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
τ
=
I
α
{\displaystyle {\tau }=I{\alpha }}
τ
{\displaystyle {\tau }}
力矩 ，
α
{\displaystyle {\alpha }}
角加速度 。
一般物件的動能 是
K
=
1
2
m
v
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}
v
{\displaystyle v}
m
{\displaystyle m}
v
=
ω
r
{\displaystyle v=\omega r}
m
=
I
r
2
{\displaystyle m={\frac {I}{r^{2}}}}
得出
K
=
1
2
(
I
r
2
)
(
ω
r
)
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}\left({\frac {I}{r^{2}}}\right)(\omega r)^{2}}
簡化得
K
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}
如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉動椅子，然後突然將手縮到胸前，轉動的速度將突然增加，因為轉動慣量減少了。
平行軸定理 是說，如果一個質量為
m
{\displaystyle m}
A
{\displaystyle A}
I
A
{\displaystyle I_{A}}
B
{\displaystyle B}
A
B
{\displaystyle AB}
B
{\displaystyle B}
A
B
{\displaystyle AB}
d
{\displaystyle d}
I
B
=
I
A
+
m
d
2
{\displaystyle I_{B}=I_{A}+md^{2}}
垂直轴定理 是说，如果一个平面物件，以该平面内两条互相垂直、交于
A
{\displaystyle A}
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
2
{\displaystyle I_{2}}
A
{\displaystyle A}
I
3
=
I
1
+
I
2
{\displaystyle I_{3}=I_{1}+I_{2}}
伸展定则 是说，如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移，该物件对该轴的转动惯量不变。
對於三維空間中任意一参考點
Q
{\displaystyle Q}
直角坐標系
Q
x
y
z
{\displaystyle Qxyz}
慣性張量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
=
[
I
x
x
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
]
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}
（1） 這裏，矩陣的對角元素
I
x
x
{\displaystyle I_{xx}\,\!}
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
轉動慣量 。設定
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
Q
{\displaystyle Q}
I
x
x
=
d
e
f
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
I
y
y
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
（2）
I
z
z
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
矩陣的非對角元素，稱為慣量積 ，以方程式定義為
I
x
y
=
I
y
x
=
d
e
f
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
d
e
f
−
∫
x
z
d
m
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!}
（3）
I
y
z
=
I
z
y
=
d
e
f
−
∫
y
z
d
m
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!}
圖A 如圖
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
直角座標系
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
L
G
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
v
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!}
這裏，
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
計算
x
{\displaystyle x}
L
G
x
=
∫
y
(
ω
×
r
)
z
−
z
(
ω
×
r
)
y
d
m
=
∫
y
ω
x
y
−
y
ω
y
x
+
z
ω
x
z
−
z
ω
z
x
d
m
=
∫
ω
x
(
y
2
+
z
2
)
−
ω
y
x
y
−
ω
z
x
z
d
m
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!}
相似地計算
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
L
G
x
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
{\displaystyle L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!}
L
G
y
=
−
ω
x
∫
x
y
d
m
+
ω
y
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
z
∫
y
z
d
m
{\displaystyle L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!}
L
G
z
=
−
ω
x
∫
x
z
d
m
−
ω
y
∫
y
z
d
m
+
ω
z
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
如果，我們用方程式（1）設定對於質心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
(
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
)
{\displaystyle (\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!}
L
G
=
I
G
ω
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（4）
平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
G
{\displaystyle G}
(
x
¯
,
y
¯
,
z
¯
)
{\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}
O
{\displaystyle O}
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
x
x
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
I
y
y
=
I
G
,
y
y
+
m
(
x
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
（5）
I
z
z
=
I
G
,
z
z
+
m
(
x
¯
2
+
y
¯
2
)
{\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}
I
x
y
=
I
y
x
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
I
G
,
x
z
−
m
x
¯
z
¯
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}
（6）
I
y
z
=
I
z
y
=
I
G
,
y
z
−
m
y
¯
z
¯
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}
證明：
圖B a)參考圖B，讓
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
{\displaystyle G}
O
{\displaystyle O}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
z
=
z
′
+
z
¯
{\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}
依照方程式（2），
I
G
,
x
x
=
∫
(
y
′
2
+
z
′
2
)
d
m
{\displaystyle I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!}
I
x
x
=
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
所以，
I
x
x
=
∫
[
(
y
′
+
y
¯
)
2
+
(
z
′
+
z
¯
)
2
]
d
m
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
b)依照方程式（3），
I
G
,
x
y
=
−
∫
x
′
y
′
d
m
{\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}
I
x
y
=
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}
因為
x
=
x
′
+
x
¯
{\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
I
x
y
=
−
∫
(
x
′
+
x
¯
)
(
y
′
+
y
¯
)
d
m
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得對於點
O
{\displaystyle O}
圖C 參視圖C，設定點
O
{\displaystyle O}
Q
{\displaystyle Q}
Q
{\displaystyle Q}
O
{\displaystyle O}
O
Q
{\displaystyle OQ}
I
O
Q
=
∫
ρ
2
d
m
=
∫
|
η
×
r
|
2
d
m
{\displaystyle I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!}
這裏，
ρ
{\displaystyle \rho \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
單位向量 ，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
展開叉積，
I
O
Q
=
∫
[
(
η
y
z
−
η
z
y
)
2
+
(
η
x
z
−
η
z
x
)
2
+
(
η
x
y
−
η
y
x
)
2
]
d
m
{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}
稍微加以編排，
I
O
Q
=
η
x
2
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
+
η
y
2
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
+
η
z
2
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
−
2
η
x
η
y
∫
x
y
d
m
−
2
η
x
η
z
∫
x
z
d
m
−
2
η
y
η
z
∫
y
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!}
特別注意，從方程式（2）、（3），這些積分項目，分別是剛體對於
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
O
Q
=
η
x
2
I
x
x
+
η
y
2
I
y
y
+
η
z
2
I
z
z
+
2
η
x
η
y
I
x
y
+
2
η
x
η
z
I
x
z
+
2
η
y
η
z
I
y
z
{\displaystyle I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!}
（7） 如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
O
Q
{\displaystyle OQ}
因為慣性張量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
實值 的三階對稱矩陣 ，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣 [ 2] 特徵值 必為正實數，而且三個特徵向量 必定互相正交 。
換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式
I
ω
=
λ
ω
{\displaystyle \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}=\lambda \;{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（8） 也就是以下行列式 等於零的三次方程式 ：
det
(
I
−
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
λ
)
=
|
I
x
x
−
λ
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
−
λ
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
−
λ
|
=
0
{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}
。 這方程式的三個根
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\,\!}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}\,\!}
λ
3
{\displaystyle \lambda _{3}\,\!}
方向餘弦 方程式，
ω
x
2
+
ω
y
2
+
ω
z
2
=
1
{\displaystyle \omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2}=1\,\!}
我們可以求到特徵向量
ω
^
1
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\,\!}
ω
^
2
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\,\!}
ω
^
3
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{3}\,\!}
慣量主軸 ；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量 。
假設
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
=
(
I
x
ω
x
,
I
y
ω
y
,
I
z
ω
z
)
{\displaystyle \mathbf {L} =(I_{x}\omega _{x}\;,\;I_{y}\omega _{y}\;,\;I_{z}\omega _{z})\,\!}
剛體的動能
K
{\displaystyle K\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
∫
v
2
d
m
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int \ v^{2}\ dm\,\!}
這裏，
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}\,\!}
v
{\displaystyle v\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
平移運動 的動能，第二個項目是剛體旋轉運動 的動能
K
′
{\displaystyle K\,\!'\,\!}
K
′
=
1
2
∫
(
ω
×
r
)
⋅
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}\int \ ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
這裏，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
應用向量恆等式 ，可以得到
K
′
=
1
2
ω
⋅
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
=
1
2
ω
⋅
L
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} \,\!}
或者，用矩陣來表達，
K
′
=
1
2
ω
T
I
ω
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\operatorname {T} }\ \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
所以，剛體的動能為
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
x
ω
x
2
+
I
y
y
ω
y
2
+
I
z
z
ω
z
2
+
2
I
x
y
ω
x
ω
y
+
2
I
x
z
ω
x
ω
z
+
2
I
y
z
ω
y
ω
z
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{xx}{\omega _{x}}^{2}+I_{yy}{\omega _{y}}^{2}+I_{zz}{\omega _{z}}^{2}+2I_{xy}\omega _{x}\omega _{y}+2I_{xz}\omega _{x}\omega _{z}+2I_{yz}\omega _{y}\omega _{z})\,\!}
（9） 假設
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
ω
x
2
+
I
y
ω
y
2
+
I
z
ω
z
2
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{x}{\omega _{x}}^{2}+I_{y}{\omega _{y}}^{2}+I_{z}{\omega _{z}}^{2})\,\!}
（10）
細長棒子的轉动惯量是
1
12
m
ℓ
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}
當自轉軸移到末端，轉动惯量是
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}
利用線密度
λ
=
m
ℓ
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\lambda ={\frac {m}{\ell }}\end{smallmatrix}}}
質心 （CM）自轉的转动惯量。
m
=
λ
x
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}m=\lambda x\end{smallmatrix}}}
d
m
=
λ
d
x
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}dm=\lambda dx\end{smallmatrix}}}
I
CM
=
∫
r
2
d
m
=
λ
∫
−
ℓ
/
2
ℓ
/
2
x
2
d
x
=
m
ℓ
(
1
3
x
3
)
|
−
ℓ
/
2
ℓ
/
2
=
1
12
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{CM}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{-\ell /2}^{\ell /2}x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{-\ell /2}^{\ell /2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}}
當自轉軸移到末端，轉动惯量變成：
I
end
=
∫
r
2
d
m
=
λ
∫
0
ℓ
x
2
d
x
=
m
ℓ
(
1
3
x
3
)
|
0
ℓ
=
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{end}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{0}^{\ell }x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{0}^{\ell }={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}
I
end
=
I
CM
+
M
D
2
=
1
12
m
ℓ
2
+
m
(
ℓ
2
)
2
=
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{end}}=I_{\text{CM}}+MD^{2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}+m\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}
^ 普通物理学（修订版，化学数学专业用）。汪昭义主编。华东师范大学出版社.P81.三、转动惯量.ISBN 978-7-5617-0444-8 /N·018
^ O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。361. ISBN 0-15-518558-6（英语） .
Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3
线性（平动）的量
角度（转动）的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s 位移积分 : A m s T
时间 : t s
—
距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1
頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
质量 : m kg ML2
轉動慣量 : I m2
MT−1
动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角动量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4765c7574ca62ab8599e34b3640457ac9bfceded)
![{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004d8b7865785dea30adfcb6c8e33b0a6f72d83c)
![{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bcc3aec9a85c1c783d6961e1c16eff0996ea0c)
