範數 (域論)

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在域論，範數是一種映射。

設$K$為域，$L$是$K$的有限代數擴張。將$\alpha$與$L$的一個元素相乘，是一個線性變換：

$m_{\alpha }:L\to L$

$N_{L/K}(\alpha )$定義為$m_{\alpha }$的行列式。

因此可得$N_{L/K}$的性質：

• $N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L$
• $N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )$

若$L/K$為伽羅瓦擴張，$N_{L/K}(\alpha )$是$\alpha$所有共軛的積，即是$\alpha$的極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若$I$是代數數域$K$的整數域$O_{k}$中的理想，$N(I)$是$O_{k}/I$的剩餘類的數目。

例子

• 複數的範數：對於$a,b\in \mathbb {R}$，對於複數此一實數域擴張，$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$，即複數和其共軛複數之積，因為$a+bi$在$\mathbb {R}$的極小多項式的根是$a\pm bi$。
• 設$L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$（黃金分割）。$N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1$，因為它在$L$的極小多項式是$x^{2}-x-1$。