8字型线

8字型线

8字型线（figure-eight curve）也稱為赫羅諾雙紐線（lemniscate of Gerono）或惠更斯雙紐線（lemniscate of Huygens），是四階、几何亏格為0的代數曲線，其外形為類似8或是無限大符號的雙紐線。方程式為

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.$

卡米爾-克里斯托夫·赫羅諾曾研究過此一曲線。

因為曲線的亏格為零，因此可以用有理函數來參數化，其中一種參數化的結果為

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

另一種表示方式為

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$

可以看到這種雙紐線也是利萨茹曲线中的一種特例。

8字型线的對偶曲線（參見Plücker公式）和8字型线的特性不同，其方程式為

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

8字型线的對偶曲線

參考資料

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 124. ISBN 0-486-60288-5. 

外部連結

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Figure Eight Curve, MacTutor数学史档案 （英语）