最短路问题

一个有6个节点和7条边的图

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

• 确定起点的最短路径问题 - 也叫单源最短路问题，即已知起始结点，求最短路径的问题。在边权非负时适合使用Dijkstra算法，若边权为负时则适合使用Bellman-ford算法或者SPFA算法。
• 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
• 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
• 全局最短路径问题 - 也叫多源最短路问题，求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：

• Dijkstra算法
• A*算法
• Bellman-Ford算法
• SPFA算法（Bellman-Ford算法的改进版本）
• Floyd-Warshall算法
• Johnson最短路算法
• 双向搜索

单源最短路径算法

无向图

权值要求	时间复杂度	作者
ℝ+	$O(V^{2})$	Dijkstra 1959
ℝ+	$O((E+V)\log V)$	Johnson 1977 (二叉堆)
ℝ+	$O(E+V\log V)$	Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆)
ℕ	$O(E)$	Thorup 1999 (要求常数时间复杂度的乘法)。

无权图

算法	时间复杂度	作者
广度优先搜索	$O(E+V)$	Konrad Zuse 1945,Moore 1959

有向无环图

使用拓扑排序算法可以在有权值的DAG中以线性时间（$\theta (E+V)$）求解单源最短路径问题。

无负权的有向图

假设边缘权重均为整数。

算法	时间复杂度	作者
	O(V 2EL)	Ford 1956
Bellman–Ford 算法	O(VE)	Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959
	O(V 2 log V)	Dantzig 1960
Dijkstra's 算法（列表）	O(V 2)	Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960
Dijkstra's 算法（二叉堆）	O((E + V) log V)	Johnson 1977
……	……	……
Dijkstra's 算法（斐波那契堆）	O(E + V log V)	Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987
	O(E log log L)	Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983
Gabow's 算法	O(E logE/V L)	Gabow 1983, Gabow 1985
	$O(E+V{\sqrt {\log l}})$	Ahuja et al. 1990
Thorup	O(E + V log log V)	Thorup 2004

参见

• 图论
• 离散数学
• 算法导论
• 寻路
• IEEE 802.1aq
• 网络流
• 最短路徑樹