生成元 (数学)

提示：此条目的主题不是生成函数或线性生成空间。

在数学中，表达式生成元、生成、由……生成、生成集合（generator, generate, generated by与generating set）可有许多紧密相关的技术性含义：

• 代数的生成元：如果A是一个环，B是一个A-代数，则S生成B当且仅当B的包含S的子A-代数是B自己。
• 群的生成集合：群元素的一个集合除了整个群之外不能包含于任何子群中。参见群呈示。
• 一个环的生成集合：一个环A的子集S生成A当且仅当包含S的子环只有A自己。
• 环中一个理想的生成集合。
• 生成元 (范畴论)，范畴论的生成元概念。
• 子基，在拓扑学中生成某拓扑的集合。
• 拓扑代数的生成集合：S是一个拓扑代数A的生成集合如果包含S的A的最小闭子代数是A自己。
• 一个李群的李代数中元素有时称为这个群的生成元，特别是物理学家。李代数至少通过局部指数可以想为生成群，但李代数在严格意义上不构成一个生成集合。
  • 由诺特定理蕴含的连续对称的生成元，是前項的特例。在这种情形，一个生成元有时称为荷或诺特荷，类似于电荷是电磁学U (1)对称群的生成元。这样，例如夸克的色荷是量子色动力学中SU (3) 色对称的生成元。更确切地，“荷”只应用于一个李群的根系。
• 在随机分析中，一个伊藤扩散或更一般的伊藤过程有一个无穷小生成元。
• 在泛函分析中，对于希尔伯特空间上的幺正算子所构成的任一强连续单参数酉群，都有该空间上的一个唯一自伴算子以某种方式与之对应，称为强连续单参数酉群的无穷小生成元。