拉普拉斯变换 （英語：Laplace transform ）是应用数学 中常用的一种积分变换 ，又名拉氏轉換 ，其符號為
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
線性變換 ，可將一個有實數变量
t
(
t
≥
0
)
{\displaystyle t(t\geq 0)}
s
{\displaystyle s}
F
(
s
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
.
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t.}
拉氏變換在大部份的應用中都是對射 的，最常見的
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 （Pierre-Simon marquis de Laplace ），他在機率論 的研究中首先引入了拉氏變換。
拉氏變換和傅里叶变换 有關，不過傅里叶变换將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩 的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統 ，可用來分析電子電路 、諧振子 、光学仪器 及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域 和頻域 之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是複變 角頻率 的函數，單位是弧度 每秒。
對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間[ 1] 捲積 會變成頻域下的乘法。
对于所有实数
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
F
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
其中频率参数
s
{\displaystyle s}
复数 ：
s
=
σ
+
i
ω
,
{\displaystyle s=\sigma +i\omega ,\,}
σ
{\displaystyle \sigma }
ω
{\displaystyle \omega }
除了
F
{\displaystyle F}
L
f
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}f}
L
t
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
运算符号 。
这个积分的具体含义取决于被积函数的类型。它存在的一个必要条件是在
f
{\displaystyle f}
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
局部可积 。对于在无穷大处衰减的局部可积函数或指数型 函数，这积分可以被理解成（恰当）勒贝格积分 。然而，在很多应用中，我们有必要将其视作在
∞
{\displaystyle \infty }
条件收敛 的反常积分 。更一般的，这个积分可以在较弱的意义 上理解，在下面会去处理。
可以用勒贝格积分 定义拉普拉斯变换为一个有限博雷尔测度
μ
{\displaystyle \mu }
[ 2]
L
{
μ
}
(
s
)
=
∫
[
0
,
∞
)
e
−
s
t
d
μ
(
t
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,\mathrm {d} \mu (t).}
以上定义的一个特殊情况是
μ
{\displaystyle \mu }
概率测度 ，或者更具体地说，是狄拉克δ函数 时。在运算微积分 中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数
f
{\displaystyle f}
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t,}
其中积分下限
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
lim
ε
→
0
∫
−
ε
∞
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }}
的简化符号。
这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在使用勒贝格积分 时，我们没有必要取这个极限，但它让我们更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换
更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
雙邊拉普拉斯轉換 為
B
{
f
}
(
s
)
=
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
兩個相異的可積函數，只有在其差的勒貝格測度 為零時，才會有相同的拉普拉斯变换。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯变换是单射 映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞ (0, ∞) 、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的缓增广义函数（函數的最壞情形是多項式成長）。
拉普拉斯逆变换 有许多不同的名称，如维奇积分 、傅立叶-梅林积分 、梅林逆公式 ，是一个複數 积分：
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
}
(
t
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
γ
−
i
T
γ
+
i
T
e
s
t
F
(
s
)
d
s
{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,\mathrm {d} s}
其中
γ
{\displaystyle \gamma }
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
Post反演公式
在實務上一般會配合查表，將函數的拉普拉斯变换分換為許多已知函數的拉普拉斯变换，再利用觀察的方式產生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中會用到拉普拉斯逆变换，會比用傅利葉轉換的處理方式要簡單。
函数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
(
s
)
}
g
(
t
)
=
L
−
1
{
G
(
s
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\end{aligned}}}
下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质：[ 3]
单边拉普拉斯变换的性质
时域
s域
注释
线性 叠加
a
f
(
t
)
+
b
g
(
t
)
{\displaystyle af(t)+bg(t)\ }
a
F
(
s
)
+
b
G
(
s
)
{\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }
可以用积分的基本规则证明。
s域一阶微分
t
f
(
t
)
{\displaystyle tf(t)\ }
−
F
′
(
s
)
{\displaystyle -F'(s)\ }
F
′
{\displaystyle F'}
F
{\displaystyle F}
导数 。
s域一般微分
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle t^{n}f(t)\ }
(
−
1
)
n
F
(
n
)
(
s
)
{\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }
更一般的形式是
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
n
{\displaystyle n}
时域一阶微分
f
′
(
t
)
{\displaystyle f'(t)\ }
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
{\displaystyle sF(s)-f(0)\ }
f
{\displaystyle f}
可微函数 ，并且其导数为指数类型 。这条性质可以通过分部积分 得到。
时域二阶微分
f
″
(
t
)
{\displaystyle f''(t)\ }
s
2
F
(
s
)
−
s
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
{\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }
f
{\displaystyle f}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
时域一般微分
f
(
n
)
(
t
)
{\displaystyle f^{(n)}(t)\ }
s
n
F
(
s
)
−
∑
k
=
1
n
s
k
−
1
f
(
n
−
k
)
(
0
)
{\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{k-1}f^{(n-k)}(0)\ }
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
数学归纳法 证明。
s域积分
1
t
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }
∫
s
∞
F
(
σ
)
d
σ
{\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \ }
这是由s域微分和条件收敛推导出来的。
时域积分
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
=
(
u
∗
f
)
(
t
)
{\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau =(u*f)(t)}
1
s
F
(
s
)
{\displaystyle {1 \over s}F(s)}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
阶跃函数 ，注意到
(
u
∗
f
)
(
t
)
{\displaystyle (u*f)(t)}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
卷积 。
时间标度
f
(
a
t
)
{\displaystyle f(at)}
1
a
F
(
s
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}
a
>
0
{\displaystyle a>0\ }
s域平移
e
a
t
f
(
t
)
{\displaystyle e^{at}f(t)\ }
F
(
s
−
a
)
{\displaystyle F(s-a)\ }
时域平移
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle e^{-as}F(s)\ }
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
阶跃函数
乘法
f
(
t
)
g
(
t
)
{\displaystyle f(t)g(t)}
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
F
(
σ
)
G
(
s
−
σ
)
d
σ
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \ }
积分沿完全处在
F
{\displaystyle F}
R
e
(
σ
)
=
c
{\displaystyle Re(\sigma )=c}
[ 4]
卷积
(
f
∗
g
)
(
t
)
=
∫
0
t
f
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }
F
(
s
)
⋅
G
(
s
)
{\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }
复共轭
f
∗
(
t
)
{\displaystyle f^{*}(t)}
F
∗
(
s
∗
)
{\displaystyle F^{*}(s^{*})}
互相关
f
(
t
)
⋆
g
(
t
)
{\displaystyle f(t)\star g(t)}
F
∗
(
−
s
∗
)
⋅
G
(
s
)
{\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)}
周期函数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
1
1
−
e
−
T
s
∫
0
T
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
周期 为
T
{\displaystyle T}
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
f
(
t
)
=
f
(
t
+
T
)
{\displaystyle f(t)=f(t+T)}
几何级数 的结果。
f
(
0
+
)
=
lim
s
→
∞
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}
F
(
s
)
{\displaystyle {F(s)}}
多项式除法 将
F
(
s
)
{\displaystyle {F(s)}}
f
(
∞
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}
s
F
(
s
)
{\displaystyle sF(s)}
复平面 或原点为单极点。由于终值定理无需经过部分分式 分解或其他困难的代数就能给出长期的行为，它就很有用。如果
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
f
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle f(t)=e^{t}}
f
(
t
)
=
sin
(
t
)
{\displaystyle f(t)=\sin(t)}
拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个连续 模拟。如果 a (n ) 是正整数 n 的一个离散函数，那么与 a (n ) 相关的幂级数为
∑
n
=
0
∞
a
(
n
)
x
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}
其中 x 是实变量（参见Z变换 ）。将对 n 的加和替换成对 t 的积分，则此幂级数的连续形式为
∫
0
∞
f
(
t
)
x
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,\mathrm {d} t}
其中离散型函数 a (n ) 被替换成连续型的 f (t )。（参见下文梅林变换 。）改变幂的基底 x 为 e 得
∫
0
∞
f
(
t
)
(
e
log
x
)
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\log {x}}\right)^{t}\,\mathrm {d} t}
要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛，就需要满足
log
x
<
0
{\displaystyle \log {x}<0}
−s = log x
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}
换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 n 换成了连续变量 t ， x 换成了 e −s
函数 f 的矩 为
μ
n
=
∫
0
∞
t
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,\mathrm {d} t}
如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛，则通过反复在积分符号内取微分 ，就得到
(
−
1
)
n
(
L
f
)
(
n
)
(
0
)
=
μ
n
{\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}}
X 的矩是
μ
n
=
E
[
X
n
]
{\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}
μ
n
=
(
−
1
)
n
d
n
d
s
n
E
[
e
−
s
X
]
.
{\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}E\left[e^{-sX}\right].}
很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下：
L
{
f
(
t
)
}
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
=
[
f
(
t
)
e
−
s
t
−
s
]
0
−
∞
−
∫
0
−
∞
e
−
s
t
−
s
f
′
(
t
)
d
t
(by parts)
=
[
−
f
(
0
−
)
−
s
]
+
1
s
L
{
f
′
(
t
)
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,\mathrm {d} t\quad {\text{(by parts)}}\\&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}
导出
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
⋅
L
{
f
(
t
)
}
−
f
(
0
−
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0^{-}),}
而在双边的情形下，
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
=
s
⋅
L
{
f
(
t
)
}
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{f'(t)}\right\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}
一般化的结果是
L
{
f
(
n
)
(
t
)
}
=
s
n
⋅
L
{
f
(
t
)
}
−
s
n
−
1
f
(
0
−
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
−
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}
其中 f (n ) 表示 f 的 n 阶导数，可以由归纳 假设得出。
令
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}
L
{
f
(
t
)
t
}
=
∫
s
∞
F
(
p
)
d
p
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p,}
或
∫
0
∞
f
(
t
)
t
e
−
s
t
d
t
=
∫
s
∞
F
(
p
)
d
p
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
令 s → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质
∫
0
∞
f
(
t
)
t
d
t
=
∫
0
∞
F
(
p
)
d
p
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到
∫
0
∞
cos
a
t
−
cos
b
t
t
d
t
=
∫
0
∞
(
p
p
2
+
a
2
−
p
p
2
+
b
2
)
d
p
=
1
2
ln
p
2
+
a
2
p
2
+
b
2
|
0
∞
=
ln
b
−
ln
a
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos at-\cos bt}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,\mathrm {d} p={\frac {1}{2}}\left.\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{\infty }=\ln b-\ln a.}
这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。
例子还有狄利克雷积分 。
连续傅里叶变换相当于计算令
s
=
ı
ω
{\displaystyle s=\imath \omega }
s
=
2
π
f
ı
{\displaystyle s=2\pi f\imath }
f
^
(
ω
)
=
F
{
f
(
t
)
}
=
L
{
f
(
t
)
}
|
s
=
i
ω
=
F
(
s
)
|
s
=
i
ω
=
∫
−
∞
∞
e
−
ı
ω
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}
z 变换表达式为：
X
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
x
[
n
]
z
−
n
{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}
其中
z
←
e
s
T
{\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ }
X
q
(
s
)
=
X
(
z
)
|
z
=
e
s
T
.
{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}
下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。 [ 5] [ 6]
由于拉普拉斯变换是一个线性算子：
L
{
f
(
t
)
+
g
(
t
)
}
=
L
{
f
(
t
)
}
+
L
{
g
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
一个函数的常數倍拉普拉斯变换等于其拉普拉斯变换的常數倍。
L
{
a
f
(
t
)
}
=
a
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
使用这个线性性质 ，以及各种三角 、双曲 、和复数 （等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。
单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数 u(t ) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果 的 （即 τ > 0）。因果系统是 t = 0 之前的冲激响应 h (t ) 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。
拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。
拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奧利弗·黑維塞 第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑維塞演算。
应用拉普拉斯 变换解常变量齐次微分方程 ，可以将微分方程化为代数方程 ，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性 ，系统稳定 有着重大意义；在线性系统 ，控制 自动化 上都有广泛的应用。
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![{\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a2571134657fa946ba1079dfcda66c521cbd5)
![{\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}E\left[e^{-sX}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14dddd9d0d7ed6f99336d8b210432a7bde98ba5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,\mathrm {d} t\quad {\text{(by parts)}}\\&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a56ba46c739dc0c631bc51748f1a992d1508eb8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5895ba4634696d409dd1b7131df86b64fe61d0)
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7e6d1a9bf26a3017c79040c80295cb1f2eaa1)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4345a4c33a88daeb8ec5a3002d02d62f66ff3fb)
![{\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443e300447c3c06d1a0fe2dd051073dba815ee08)
